Questão de Raciocínio Lógico — Problemas Lógicos — FGV 2026

Raciocínio Lógico: Problemas com Matrizes e Cores

Gabarito: letra B. As bolas nas diagonais principal e secundária terão a mesma cor se, e somente se, a ordem da matriz $n$ for um número ímpar, pois apenas nessa condição as duas diagonais se cruzam em um único compartimento central, permitindo a uniformidade cromática exigida pelo padrão de alternância.

Para resolver este problema, devemos analisar a regra de coloração: bolas em compartimentos adjacentes (mesma linha ou coluna) devem ter cores diferentes. Isso implica que, ao percorrer uma linha ou coluna, as cores devem alternar obrigatoriamente (ex.: Branco-Preto-Branco...).

Na diagonal principal, os elementos possuem índices $(i, i)$. Na diagonal secundária, os elementos possuem índices $(i, n+1-i)$. Quando $n$ é ímpar, existe um elemento central único onde $i = n+1-i$, ou seja, $2i = n+1$, o que resulta em $i = (n+1)/2$. Esse elemento central pertence simultaneamente às duas diagonais. Se $n$ é par, as diagonais não compartilham nenhum elemento, e a exigência de que todas as bolas das duas diagonais tenham a mesma cor torna-se impossível de satisfazer devido à restrição de alternância de cores nas linhas e colunas adjacentes.

Alternativa A — ❌ Incorreta

Se $n$ for par, as diagonais não possuem um elemento comum. A restrição de cores adjacentes força uma alternância que impede que todos os elementos da diagonal principal e da secundária possuam a mesma cor simultaneamente.

Alternativa B — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Quando $n$ é ímpar, o elemento central da matriz (na posição $((n+1)/2, (n+1)/2)$) é o ponto de interseção das duas diagonais. Apenas nesta configuração é possível que o padrão de cores seja consistente em ambas as diagonais.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Embora o número ímpar seja frequentemente primo, a condição de igualdade de cores nas diagonais depende exclusivamente da paridade de $n$ (ser ímpar), e não de o número ser primo (ex.: $n=9$ é ímpar e composto, mas satisfaz a condição).

Alternativa D — ❌ Incorreta

O enunciado já estabelece que $n > 2$. A condição de ser maior que 2 é genérica e não garante a interseção das diagonais, pois inclui números pares (como 4, 6, 8) que não satisfazem o requisito.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Ser um quadrado perfeito (como 4, 9, 16) não é o critério determinante. O número 4 é um quadrado perfeito par e não satisfaz a condição, enquanto o número 9 é um quadrado perfeito ímpar e a satisfaz, provando que a propriedade não reside na natureza de quadrado perfeito.