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Questão de Matemática — Geometria Plana — FGV 2026

MatemáticaGeometria Plana
Código
fg134596
Banca
FGV
Órgão
PC-PI
Ano
2026
Nível
Superior
Para um dado número real k, considere o triângulo do plano cartesiano xy cujos vértices são os pontos A(k,7), B(3,1) e C(9,1).A soma de todos os valores de k para os quais ABC é um triângulo retângulo é
  1. A21.
  2. B14.
  3. C12.
  4. D11.
  5. E10.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoC — 12.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra C — a conta chega a 12 (alternativa C).

A ideia por trás

Um triângulo retângulo é aquele que possui um ângulo de 90°, ou seja, dois de seus lados são perpendiculares entre si. No plano cartesiano, a perpendicularidade entre dois segmentos pode ser verificada pelo produto escalar dos vetores que os representam: se o produto escalar é zero, os vetores são perpendiculares. O produto escalar de dois vetores (x1, y1) e (x2, y2) é dado por x1·x2 + y1·y2, e ele mede o quanto um vetor 'projeta' no outro; quando é zero, não há projeção, indicando ângulo reto. Nesta questão, o triângulo tem um lado fixo BC horizontal, e o ponto A varia com k; precisamos encontrar os valores de k que fazem um dos ângulos ser reto, testando cada vértice como possível ângulo reto.

O que a questão dá

  • A(k, 7)

  • B(3, 1)

  • C(9, 1)

O que queremos: a soma de todos os valores de k para os quais ABC é um triângulo retângulo

Passo 1 — Calcular o vetor BC

Para verificar perpendicularidade, precisamos dos vetores que representam os lados. O lado BC é fixo, então calculamos primeiro.

Por que esta fórmula: O vetor entre dois pontos P e Q é dado por Q - P, subtraindo as coordenadas.

BC⃗=C−B\vec{BC} = C - B

De onde vem cada valor: CC = enunciado: C(9,1) · BB = enunciado: B(3,1)

BC⃗=(9−3,1−1)=(6,0)=(6,0)\vec{BC} = (9-3, 1-1) = (6, 0) = \boxed{(6, 0)}
NÃO CAIA NESSA!

Inverter a ordem: usar B - C daria (-6, 0), o que muda o sinal, mas o produto escalar com outro vetor pode dar o mesmo resultado se o outro também for invertido; porém, é importante manter a consistência.

Passo 2 — Calcular o vetor BA

Para testar o ângulo reto em B, precisamos dos vetores que partem de B: BA e BC. Já temos BC, agora calculamos BA.

Por que esta fórmula: O vetor BA é A - B, pois vai de B para A.

BA⃗=A−B\vec{BA} = A - B

De onde vem cada valor: AA = enunciado: A(k,7) · BB = enunciado: B(3,1)

BA⃗=(k−3,7−1)=(k−3,6)=(k−3,6)\vec{BA} = (k-3, 7-1) = (k-3, 6) = \boxed{(\text{k}-3, 6)}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de subtrair as coordenadas y: 7-1=6, não 7.

Passo 3 — Impor perpendicularidade em B

Se o ângulo em B é reto, os vetores BA e BC devem ser perpendiculares, ou seja, o produto escalar deve ser zero. Isso nos dá uma equação para k.

Por que esta fórmula: O produto escalar de dois vetores (x1, y1) e (x2, y2) é x1·x2 + y1·y2; se for zero, eles são perpendiculares.

BA⃗⋅BC⃗=0\vec{BA} \cdot \vec{BC} = 0

De onde vem cada valor: BA⃗\vec{BA} = passo 2 · BC⃗\vec{BC} = passo 1

(k−3)⋅6+6⋅0=0(k-3)\cdot 6 + 6\cdot 0 = 0
k=3k = \boxed{3}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer que o produto escalar é a soma dos produtos das coordenadas; aqui o segundo termo é zero, então sobra 6(k-3).

Passo 4 — Calcular o vetor CA

Agora testamos o ângulo reto em C. Precisamos dos vetores CA e CB. Já temos CB (que é o oposto de BC), mas calculamos CA.

Por que esta fórmula: O vetor CA é A - C, pois vai de C para A.

CA⃗=A−C\vec{CA} = A - C

De onde vem cada valor: AA = enunciado: A(k,7) · CC = enunciado: C(9,1)

CA⃗=(k−9,7−1)=(k−9,6)=(k−9,6)\vec{CA} = (k-9, 7-1) = (k-9, 6) = \boxed{(\text{k}-9, 6)}
NÃO CAIA NESSA!

Confundir a ordem: A - C, não C - A.

Passo 5 — Impor perpendicularidade em C

Se o ângulo em C é reto, os vetores CA e CB devem ser perpendiculares. CB é o vetor de C para B, que é (-6, 0).

Por que esta fórmula: Produto escalar zero indica perpendicularidade.

CA⃗⋅CB⃗=0\vec{CA} \cdot \vec{CB} = 0

De onde vem cada valor: CA⃗\vec{CA} = passo 4 · CB⃗\vec{CB} = passo 1: CB⃗\vec{CB} = -BC⃗\vec{BC} = (-6, 0)

(k−9)⋅(−6)+6⋅0=0(k-9)\cdot (-6) + 6\cdot 0 = 0
k=9k = \boxed{9}
NÃO CAIA NESSA!

Usar BC⃗\vec{BC} em vez de CB⃗\vec{CB}; o sinal muda, mas o produto escalar com o outro vetor pode dar o mesmo resultado se o outro também for invertido, mas aqui é importante usar o vetor correto.

Passo 6 — Testar o ângulo reto em A

Falta verificar se o ângulo pode ser reto em A. Para isso, os vetores AB e AC devem ser perpendiculares. Calculamos esses vetores e impomos o produto escalar zero.

Por que esta fórmula: Produto escalar zero para perpendicularidade.

AB⃗⋅AC⃗=0\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 0

De onde vem cada valor: AB⃗\vec{AB} = B - A = (3-k, 1-7) = (3-k, -6) · AC⃗\vec{AC} = C - A = (9-k, 1-7) = (9-k, -6)

(3−k)(9−k)+(−6)(−6)=0(3-k)(9-k) + (-6)(-6) = 0
k2−12k+63=0,semsoluc\ca~orealk^{2} - 12k + 63 = \boxed{0, sem solução real}
NÃO CAIA NESSA!

Errar a expansão do produto (3-k)(9-k): deve dar 27 - 12k + k², não 27 - 12k - k².

Passo 7 — Somar os valores de k

Os únicos valores que tornam o triângulo retângulo são k=3 e k=9, pois o caso em A não tem solução real. A soma é 3+9.

Por que esta fórmula: Soma simples dos valores encontrados.

S=k1+k2S = k_1 + k_2

De onde vem cada valor: k1k_1 = passo 3: 3 · k2k_2 = passo 5: 9

S=3+9=12S = 3 + 9 = \boxed{12}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de somar ou somar valores incorretos, como incluir as raízes complexas do caso A.

Resposta: 12 (alternativa C)

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