Questão de Matemática — Geometria Plana — FGV 2026

Geometria Plana — Área de Polígono Regular

Gabarito: letra B. O robô descreve uma trajetória que forma um hexágono regular de lado $L = 10$ metros, pois a cada vértice ele realiza um giro externo de $60^\circ$ (o que implica um ângulo interno de $120^\circ$), retornando ao ponto inicial após seis segmentos. A área de um hexágono regular é dada pela fórmula $A = \frac{3L^2\sqrt{3}}{2}$. Substituindo $L = 10$, temos $A = \frac{3 \times 100 \times \sqrt{3}}{2} = 150\sqrt{3}$. Considerando $\sqrt{3} \approx 1,732$, o valor é $150 \times 1,732 = 259,8$, sendo $260$ o valor mais próximo.

Análise do Movimento

O robô caminha em linha reta por $10$ metros e gira $60^\circ$ no sentido anti-horário. Como a soma dos ângulos externos de qualquer polígono convexo é $360^\circ$, para fechar uma figura fechada com giros constantes de $60^\circ$, o robô deve realizar $360^\circ / 60^\circ = 6$ giros. Isso caracteriza um polígono de $6$ lados (hexágono) com todos os lados iguais a $10$ metros.

Cálculo da Área

Um hexágono regular pode ser decomposto em $6$ triângulos equiláteros de lado $L = 10$ metros. A área de um triângulo equilátero é $A_t = \frac{L^2\sqrt{3}}{4}$.

1. Área de um triângulo: $A_t = \frac{10^2\sqrt{3}}{4} = \frac{100\sqrt{3}}{4} = 25\sqrt{3}$.

2. Área total: $A = 6 \times 25\sqrt{3} = 150\sqrt{3}$.

3. Aproximação: $150 \times 1,732 = 259,8 \approx 260$.

Gabarito: letra B