GabaritoE — ímpar ou múltiplo de 8.
Gabarito: letra E. Para qualquer inteiro N, o cubo N³ é necessariamente ímpar ou múltiplo de 8 — essa é a única propriedade que vale para todo inteiro, e é exatamente o que a alternativa E afirma. A demonstração vem da análise dos restos na divisão por 2: se N é par, N³ é múltiplo de 8; se N é ímpar, N³ é ímpar.
A questão testa a capacidade de identificar uma propriedade que seja necessariamente verdadeira para qualquer inteiro N. Isso significa que a alternativa correta deve valer para todos os casos, sem exceção. Vamos analisar a paridade:
Se N é par, então N = 2k para algum inteiro k. Logo, N³ = (2k)³ = 8k³, que é múltiplo de 8.
Se N é ímpar, então N = 2k + 1. O cubo de um ímpar é sempre ímpar (ímpar × ímpar × ímpar = ímpar).
Portanto, todo inteiro N cai em um dos dois casos: ou N³ é múltiplo de 8 (quando N é par), ou N³ é ímpar (quando N é ímpar). A união dessas duas possibilidades cobre todos os inteiros, tornando a alternativa E necessariamente verdadeira.
A pegadinha da banca está em oferecer alternativas que parecem plausíveis, mas que falham para algum valor específico de N. Para refutar uma alternativa, basta encontrar um único contraexemplo.
Caso | Paridade de N | N³ | Resultado |
|---|---|---|---|
Caso 1 | N par (N = 2k) | N³ = 8k³ | Múltiplo de 8 |
Caso 2 | N ímpar (N = 2k + 1) | N³ é ímpar | Ímpar |
Afirma que N³ é par ou primo. Contraexemplo: N = 3 → N³ = 27, que é ímpar e não é primo (27 = 3³). Portanto, a afirmação falha.
Afirma que N³ é múltiplo de 3 ou de 8. Contraexemplo: N = 5 → N³ = 125, que não é múltiplo de 3 (1+2+5=8, não divisível por 3) nem de 8 (125 ÷ 8 = 15,625). Portanto, a afirmação falha.
Afirma que N³ é potência de um primo. Contraexemplo: N = 6 → N³ = 216 = 2³ × 3³, que não é potência de um único primo. Portanto, a afirmação falha.
Afirma que N³ é ímpar ou múltiplo de 6. Contraexemplo: N = 2 → N³ = 8, que é par e não é múltiplo de 6. Portanto, a afirmação falha.
Afirma que N³ é ímpar ou múltiplo de 8. Como demonstrado: se N é par, N³ = 8k³ (múltiplo de 8); se N é ímpar, N³ é ímpar. A união cobre todos os inteiros, tornando a afirmação necessariamente verdadeira.
A banca explora a tendência de testar apenas alguns valores. O candidato que testa N = 2 (N³ = 8) e N = 3 (N³ = 27) pode achar que a alternativa D (ímpar ou múltiplo de 6) também funciona, mas esquece de testar N = 2, que é par e não é múltiplo de 6. A chave é testar valores que cubram todas as possibilidades de paridade e, principalmente, buscar contraexemplos para as alternativas erradas.
Para questões de "necessariamente verdadeiro", a estratégia é: (1) identifique a propriedade que vale para todos os casos; (2) para cada alternativa, tente encontrar um contraexemplo — se encontrar, descarte; (3) a que resistir a todos os contraexemplos é a correta. Aqui, a análise de paridade resolve tudo: par → múltiplo de 8, ímpar → ímpar.
Gabarito: letra E
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