Questão de Matemática — Geometria Analítica — FGV 2026

Interseção de intervalos no plano cartesiano

Gabarito: letra C. A interseção $A \cap B$ é o conjunto dos pontos que pertencem simultaneamente aos dois retângulos: na coordenada $x$, o ponto deve estar em $[-3,1]$ e em $[-2,2]$, o que resulta em $[-2,1]$; na coordenada $y$, deve estar em $[3,5]$ e em $[1,4]$, o que resulta em $[3,4]$. Portanto, $A \cap B = \{(x,y) \mid x \in [-2,1] \text{ e } y \in [3,4]\}$.

A questão trabalha com a operação de interseção de conjuntos, aplicada a intervalos reais em cada eixo coordenado. Cada conjunto $A$ e $B$ é um retângulo no plano cartesiano: $A$ é o retângulo com $x$ variando de $-3$ a $1$ e $y$ de $3$ a $5$; $B$ é o retângulo com $x$ de $-2$ a $2$ e $y$ de $1$ a $4$. A interseção de dois retângulos alinhados aos eixos é outro retângulo, cujos lados são as interseções dos intervalos correspondentes em cada eixo.

Para encontrar a interseção, basta intersectar os intervalos de $x$ e intersectar os intervalos de $y$ separadamente. A interseção de dois intervalos fechados $[a,b]$ e $[c,d]$ é o intervalo $[\max(a,c), \min(b,d)]$, desde que $\max(a,c) \le \min(b,d)$; caso contrário, a interseção é vazia. Aqui, ambos os casos resultam em intervalos não vazios.

Na coordenada $x$:

• $A$: $x \in [-3,1]$

• $B$: $x \in [-2,2]$

• Interseção: o menor limite inferior é $-2$ (pois $-2 > -3$) e o menor limite superior é $1$ (pois $1 < 2$). Logo, $x \in [-2,1]$.

Na coordenada $y$:

• $A$: $y \in [3,5]$

• $B$: $y \in [1,4]$

• Interseção: o menor limite inferior é $3$ (pois $3 > 1$) e o menor limite superior é $4$ (pois $4 < 5$). Logo, $y \in [3,4]$.

A pegadinha clássica desta questão é confundir interseção com união. Na união, tomaríamos os extremos mais amplos: $x \in [-3,2]$ e $y \in [1,5]$. Mas a interseção exige que o ponto esteja nos dois conjuntos ao mesmo tempo, então usamos os extremos mais restritivos (o maior limite inferior e o menor limite superior). Outra armadilha é errar apenas um dos eixos, como fazem as alternativas que acertam $x$ mas erram $y$, ou vice-versa.

Guarde o critério: interseção = extremos internos (maior dos mínimos, menor dos máximos); união = extremos externos (menor dos mínimos, maior dos máximos). É exatamente nessa distinção que as alternativas se separam.

Alternativa A — ❌ Incorreta

Erra na coordenada $x$: usa $[-3,1]$, que é o intervalo de $x$ do conjunto $A$, mas a interseção exige também estar em $[-2,2]$, então o limite inferior correto é $-2$, não $-3$. Também erra em $y$: usa $[2,5]$, que não corresponde à interseção de $[3,5]$ com $[1,4]$ (o correto é $[3,4]$).

Alternativa B — ❌ Incorreta

Erra na coordenada $x$: usa $[-3,2]$, que é a união dos intervalos de $x$ (o menor dos mínimos, $-3$, e o maior dos máximos, $2$), não a interseção. Na interseção, o limite inferior é $-2$ e o superior é $1$. Também erra em $y$: usa $[2,5]$, que não é a interseção correta.

Alternativa C — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Apresenta exatamente a interseção correta: $x \in [-2,1]$ (interseção de $[-3,1]$ e $[-2,2]$) e $y \in [3,4]$ (interseção de $[3,5]$ e $[1,4]$). É a única alternativa que aplica corretamente a operação de interseção em ambos os eixos.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Acerta a coordenada $x$ ($[-2,1]$), mas erra a coordenada $y$: usa $[3,5]$, que é o intervalo de $y$ do conjunto $A$, ignorando que o ponto também deve estar em $[1,4]$. O limite superior correto é $4$, não $5$.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Acerta a coordenada $y$ ($[3,4]$), mas erra a coordenada $x$: usa $[-3,1]$, que é o intervalo de $x$ do conjunto $A$, ignorando que o ponto também deve estar em $[-2,2]$. O limite inferior correto é $-2$, não $-3$.

Gabarito: letra C