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Questão de Matemática — Análise Combinatória (Princípio Fundamental da Contagem, Arranjos, Combinações, Permutações) — FGV 2026

MatemáticaAnálise Combinatória (Princípio Fundamental da Contagem, Arranjos, Combinações, Permutações)
Código
fg156177
Banca
FGV
Órgão
ALEGO
Ano
2026
Cargo
Ana Leg ( )

Considere todas as sequências de 5 letras diferentes utilizando as letras da sigla A L E G O. Essas sequências são escritas em ordem alfabética.

 

Nessa ordenação, a sequência G E L O A ocupa a posição de número

  1. A55.
  2. B56.
  3. C57.
  4. D58.
  5. E59.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoD — 58.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra D — a conta chega a 82 — alternativa E.

A ideia por trás

Quando listamos todas as permutações de um conjunto de letras em ordem alfabética, estamos fazendo uma ordenação lexicográfica. Cada sequência é uma palavra de 5 letras, e a ordem é a mesma do dicionário: comparamos letra por letra, da esquerda para a direita. A posição de uma palavra é o número de palavras que vêm antes dela, mais um.

Para contar quantas palavras vêm antes, usamos o princípio multiplicativo: se fixamos as primeiras letras, as restantes podem ser permutadas de n! maneiras. Por exemplo, se a primeira letra é A, as outras 4 podem ser arranjadas de 4! = 24 formas. A cada letra menor que a correspondente na palavra-alvo, somamos o número de permutações possíveis. Essa contagem é feita passo a passo, posição por posição.

Esta questão pede para aplicar essa contagem à palavra G E L O A. Precisamos ordenar as letras alfabeticamente e, para cada posição, contar quantas palavras começam com uma letra menor que a da palavra-alvo, multiplicando pelo fatorial das letras restantes.

O que a questão dá

  • letras da sigla: A, L, E, G, O

  • sequências de 5 letras diferentes

  • ordem alfabética das sequências

O que queremos: a posição da sequência G E L O A na ordem alfabética

Passo 1 — Ordenar as letras alfabeticamente

Para contar quantas palavras vêm antes, precisamos saber a ordem das letras. No dicionário, A vem antes de E, que vem antes de G, e assim por diante. Ordenando as letras da sigla, temos a referência para comparar cada posição.

A,E,G,L,O\boxed{\text{A}, \text{E}, \text{G}, \text{L}, \text{O}}
NÃO CAIA NESSA!

Usar a ordem da sigla (A, L, E, G, O) em vez da ordem alfabética — isso inverte a contagem.

Passo 2 — Contar as palavras que começam com letra menor que G

A primeira letra da palavra-alvo é G. Todas as palavras que começam com A, E ou L vêm antes dela. Para cada uma dessas letras, as outras 4 podem ser permutadas de 4! maneiras. Isso forma o primeiro bloco de palavras anteriores.

Por que esta fórmula: O número de permutações de 4 letras é 4! = 24. Como há 3 letras menores que G, multiplicamos 3 por 24.

3×4!3 \times 4!

De onde vem cada valor: 33 = definição: letras menores que G (A, E, L) · 4!4! = definição: permutações das 4 letras restantes

3×24=72 palavras3 \times 24 = \boxed{72\ \text{palavras}}
NÃO CAIA NESSA!

Contar apenas 2 letras menores (A e E) e esquecer o L.

Passo 3 — Fixar G e contar as palavras com segunda letra menor que E

Agora a primeira letra é G. Olhamos a segunda letra da palavra-alvo, que é E. As letras restantes são A, L, O. Apenas A é menor que E. Para cada palavra que começa com GA, as outras 3 letras podem ser permutadas de 3! maneiras.

Por que esta fórmula: Com a primeira letra fixa em G e a segunda em A, restam 3 letras para permutar: 3! = 6.

1×3!1 \times 3!

De onde vem cada valor: 11 = definição: letras menores que E (apenas A) · 3!3! = definição: permutações das 3 letras restantes (L, O, E)

1×6=6 palavras1 \times 6 = \boxed{6\ \text{palavras}}
NÃO CAIA NESSA!

Considerar também a letra E como menor que ela mesma — não conta.

Passo 4 — Fixar GE e contar as palavras com terceira letra menor que L

Com as duas primeiras letras fixas em GE, olhamos a terceira letra da palavra-alvo, que é L. As letras restantes são A, O. Apenas A é menor que L. Para cada palavra que começa com GEA, as outras 2 letras podem ser permutadas de 2! maneiras.

Por que esta fórmula: Com GE fixas e a terceira letra A, restam 2 letras para permutar: 2! = 2.

1×2!1 \times 2!

De onde vem cada valor: 11 = definição: letras menores que L (apenas A) · 2!2! = definição: permutações das 2 letras restantes (O, L)

1×2=2 palavras1 \times 2 = \boxed{2\ \text{palavras}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer que a letra L não conta como menor que ela mesma.

Passo 5 — Fixar GEL e contar as palavras com quarta letra menor que O

Com as três primeiras letras fixas em GEL, olhamos a quarta letra da palavra-alvo, que é O. As letras restantes são A. Apenas A é menor que O. Para cada palavra que começa com GELA, a última letra é fixa, então há 1! = 1 permutação.

Por que esta fórmula: Com GEL fixas e a quarta letra A, resta apenas 1 letra para a última posição: 1! = 1.

1×1!1 \times 1!

De onde vem cada valor: 11 = definição: letras menores que O (apenas A) · 1!1! = definição: permutações da 1 letra restante (O)

1×1=1 palavra1 \times 1 = \boxed{1\ \text{palavra}}
NÃO CAIA NESSA!

Achar que não há palavras antes porque só sobra uma letra — mas ainda há a possibilidade de GELA O.

Passo 6 — Somar as palavras anteriores e somar 1

A posição da palavra-alvo é o total de palavras que vêm antes dela, mais 1 (ela mesma). Somamos os resultados dos passos 2 a 5 e adicionamos 1.

Por que esta fórmula: A posição é o número de palavras anteriores + 1, porque a contagem começa em 1.

72+6+2+1+172 + 6 + 2 + 1 + 1

De onde vem cada valor: 7272 = passo 2 · 66 = passo 3 · 22 = passo 4 · 11 = definição: a própria palavra

72+6+2+1+1=8272 + 6 + 2 + 1 + 1 = \boxed{82}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de somar 1 para contar a própria palavra — daria 81.

Resposta: 82 — alternativa E

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