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Questão de Matemática — Radiciação e Potenciação — FGV 2026

MatemáticaRadiciação e Potenciação
Código
fg156186
Banca
FGV
Órgão
IBGE
Ano
2026
Cargo
Ag PM ( )
Considere 1,4 como uma aproximação para 2\sqrt{2}.   Diante de tal consideração, verifica-se que o número 3^{2\sqrt{2}} está compreendido entre
  1. A0 e 1.
  2. B1 e 2.
  3. C2 e 3.
  4. D3 e 9.
  5. E9 e 14.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoD — 3 e 9.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra D — a conta chega a 3 < 3^√2 < 9, portanto está entre 3 e 9 — alternativa D.

A ideia por trás

A potenciação é a operação de multiplicar uma base por ela mesma um certo número de vezes, indicado pelo expoente. Quando o expoente é um número irracional, como √2, não conseguimos calcular exatamente, mas podemos usar aproximações para estimar o valor. A função exponencial com base maior que 1 é sempre crescente: quanto maior o expoente, maior o resultado.

Para uma base a > 1, se x₁ < x₂, então a^x₁ < a^x₂. Isso significa que, se soubermos que o expoente está entre dois números, o resultado da potência estará entre as potências desses números. Por exemplo, se 1 < √2 < 2, então 3¹ < 3^√2 < 3², ou seja, 3 < 3^√2 < 9.

Esta questão usa a aproximação fornecida para √2 e a propriedade de monotonicidade da função exponencial para determinar entre quais potências inteiras de 3 o valor se encontra, sem precisar calcular o número exato.

O que a questão dá

  • aproximação: √2 ≈ 1,4

  • base da potência: 3

  • expoente: √2

O que queremos: o intervalo em que se encontra o número 3^√2

Passo 1 — Comparar o expoente com 1 e 2

Precisamos saber entre quais números inteiros o expoente √2 está, pois isso nos dirá entre quais potências de 3 o resultado estará. Como a função exponencial com base maior que 1 é crescente, a ordem dos expoentes se mantém nos resultados.

Por que esta fórmula: Não há fórmula; é uma comparação numérica. Sabemos que √2 ≈ 1,4, e 1 < 1,4 < 2, então 1 < √2 < 2.

1 <√2<2\boxed{1\ < √2 < 2}
NÃO CAIA NESSA!

Achar que √2 é maior que 2, confundindo com √4 = 2.

Passo 2 — Aplicar a função exponencial na comparação

Agora que sabemos que o expoente está entre 1 e 2, usamos a propriedade da função exponencial: como a base 3 é maior que 1, a função é crescente, então a desigualdade se mantém ao aplicar a potência de base 3.

Por que esta fórmula: A propriedade é: se a > 1 e x < y, então a^x < a^y. Aqui, a = 3, x = 1, y = √2, e também √2 < 2, então 3^1 < 3^√2 < 3^2.

31<32<323^{1} < 3^{\sqrt{2}} < 3^{2}

De onde vem cada valor: 33 = enunciado: base da potência · 11 = passo 1: limite inferior do expoente · 2\sqrt{2} = enunciado: expoente · 22 = passo 1: limite superior do expoente

31<32<32=3 <3√2<93^{1} < 3^{\sqrt{2}} < 3^{2} = \boxed{3\ < 3^√2 < 9}
NÃO CAIA NESSA!

Inverter a desigualdade por pensar que a função é decrescente; isso só ocorre se a base for menor que 1.

Resposta: 3 < 3^√2 < 9, portanto está entre 3 e 9 — alternativa D

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