Questão de Matemática — Números Reais (Propriedades e Operações; Intervalos) — FGV 2026

Desigualdades com números reais

Gabarito: letra C. Para $x = \frac{1}{2}$, a desigualdade $x \leq x^3$ é falsa, pois $\frac{1}{2} \leq \frac{1}{8}$ não se verifica. As demais alternativas são verdadeiras para esse valor de $x$.

A ideia por trás

A questão testa a compreensão das propriedades das desigualdades quando aplicadas a números reais, especialmente números entre 0 e 1. Para números nesse intervalo, as potências de expoente maior resultam em números menores. Por exemplo, $\left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$ e $\left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1}{8}$. Isso contrasta com números maiores que 1, onde as potências crescem.

A resolução mais direta é substituir $x = \frac{1}{2}$ em cada alternativa e verificar a veracidade da desigualdade resultante. Vamos fazer isso passo a passo.

Análise das alternativas

Alternativa A — ✅ Correta

Substituindo $x = \frac{1}{2}$:

$\frac{x}{3} = \frac{1/2}{3} = \frac{1}{6}$ e $2x = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1$.

A desigualdade $\frac{1}{6} \leq 1$ é verdadeira. Portanto, a alternativa A é verdadeira.

Alternativa B — ✅ Correta

Substituindo $x = \frac{1}{2}$:

$x = \frac{1}{2}$ e $3x = 3 \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$.

A desigualdade $\frac{1}{2} \leq \frac{3}{2}$ é verdadeira. Portanto, a alternativa B é verdadeira.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Substituindo $x = \frac{1}{2}$:

$x = \frac{1}{2}$ e $x^3 = \left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1}{8}$.

A desigualdade $\frac{1}{2} \leq \frac{1}{8}$ é falsa, pois $\frac{1}{2} > \frac{1}{8}$. Portanto, a alternativa C é a incorreta.

Alternativa D — ✅ Correta

Substituindo $x = \frac{1}{2}$:

$x = \frac{1}{2}$ e $x^2 + x = \left(\frac{1}{2}\right)^2 + \frac{1}{2} = \frac{1}{4} + \frac{1}{2} = \frac{3}{4}$.

A desigualdade $\frac{1}{2} \leq \frac{3}{4}$ é verdadeira. Portanto, a alternativa D é verdadeira.

Alternativa E — ✅ Correta

Substituindo $x = \frac{1}{2}$:

$x^2 + x = \frac{3}{4}$ e $(x + 1)^2 = \left(\frac{1}{2} + 1\right)^2 = \left(\frac{3}{2}\right)^2 = \frac{9}{4}$.

A desigualdade $\frac{3}{4} \leq \frac{9}{4}$ é verdadeira. Portanto, a alternativa E é verdadeira.

Gabarito: letra C — a única desigualdade falsa para $x = \frac{1}{2}$ é $x \leq x^3$.