GabaritoA — −9/35.
Gabarito: letra A — o valor de resto(3/5, −2/7) é −9/35. A definição dada é resto(x, y) = x − y·⌊x/y⌋, e o ponto crítico é calcular corretamente o piso de um número negativo: ⌊−21/10⌋ = −3 (o maior inteiro menor ou igual a −2,1 é −3, não −2).
A função piso (floor), denotada por ⌊t⌋, retorna o maior número inteiro que é menor ou igual a t. Para números positivos, isso equivale a "desprezar a parte fracionária" (⌊2,7⌋ = 2). Para números negativos, porém, a intuição falha: ⌊−2,1⌋ não é −2, pois −2 é MAIOR que −2,1. O maior inteiro que é menor ou igual a −2,1 é −3. Essa é a armadilha central da questão — quem calcula ⌊−21/10⌋ = −2 erra o sinal e cai na alternativa B.
Vamos aplicar a definição passo a passo. Primeiro, calculamos a razão x/y:
Agora, o piso: ⌊−21/10⌋ = ⌊−2,1⌋ = −3. Em seguida, substituímos na fórmula:
Para subtrair as frações, usamos o MMC de 5 e 7, que é 35:
Portanto, o resultado é −9/35, exatamente a alternativa A.
A função resto definida no enunciado é uma generalização do resto da divisão inteira. No caso de números positivos, ela coincide com o resto usual (ex.: resto(17, 5) = 17 − 5·⌊17/5⌋ = 17 − 5·3 = 2). A diferença aparece quando o divisor é negativo: o resto pode ser negativo, pois a definição não impõe que o resultado tenha o mesmo sinal do divisor — ela apenas garante que resto(x, y) = x − y·k, onde k é o maior inteiro tal que k ≤ x/y. Isso significa que o resto sempre satisfaz 0 ≤ resto < |y| quando x e y têm o mesmo sinal, mas pode ser negativo quando os sinais são opostos.
A pegadinha da banca está exatamente no cálculo do piso de um número negativo. Muitos candidatos, acostumados a "truncar" a parte decimal, fazem ⌊−2,1⌋ = −2, o que levaria a:
Esse resultado não aparece nas alternativas, o que já indica o erro. Outros podem errar o sinal na multiplicação, obtendo −6/35 (alternativa B) ou valores como −21/10 (alternativa C, que é o próprio quociente x/y). A chave é sempre verificar: o piso de um número negativo "anda para a esquerda" na reta numérica, nunca para a direita.
Guarde o critério decisivo: calcule o quociente x/y, aplique o piso com atenção ao sinal e só então multiplique pelo divisor e subtraia de x. É nessa sequência que as alternativas se separam.
É o resultado exato do cálculo: resto(3/5, −2/7) = −9/35. Aplicando a definição com ⌊−21/10⌋ = −3, obtemos 3/5 − (−2/7)·(−3) = 3/5 − 6/7 = 21/35 − 30/35 = −9/35. A alternativa espelha corretamente o passo a passo, incluindo o piso negativo.
O valor −6/35 surge de um erro de sinal na multiplicação: se o candidato calcula 3/5 − (−2/7)·(−3) mas troca o sinal do produto, obtém 3/5 + 6/7 = 21/35 + 30/35 = 51/35, que não é −6/35. Outra rota para −6/35 seria calcular 3/5 − (−2/7)·(3) = 3/5 + 6/7, também errado. Na verdade, −6/35 não corresponde a nenhuma etapa correta do cálculo — é um distrator que mistura os sinais de forma incorreta.
O valor −21/10 é exatamente o quociente x/y = (3/5)/(−2/7) = −21/10. A alternativa confunde o quociente com o resto. O resto é o que sobra após subtrair múltiplos inteiros do divisor, não a razão entre os números. Quem marca esta opção calculou a divisão de frações, mas não aplicou a definição de resto.
O valor 14/15 é o inverso do quociente com sinal trocado: (3/5)/(2/7) = 21/10, e 14/15 não tem relação direta com o cálculo. Uma possível rota seria calcular 3/5 + 2/7 = 21/35 + 10/35 = 31/35, que também não é 14/15. Este distrator não corresponde a nenhuma operação natural da definição — é um valor aleatório para testar se o candidato domina o método.
O valor 5/12 é o inverso de 12/5, que não aparece no cálculo. Uma rota possível seria calcular (3/5)·(2/7) = 6/35, e depois inverter para 35/6, mas 5/12 não é resultado de nenhuma etapa. Este distrator testa se o candidato confunde as operações com frações (multiplicação, divisão, inversão) sem aplicar a definição de resto.
A banca explora a dificuldade do piso de número negativo. O candidato treinado em números positivos faz ⌊−2,1⌋ = −2, mas o correto é −3. Lembre-se: o piso sempre "anda para a esquerda" na reta numérica. Para números negativos, isso significa diminuir o valor absoluto (de −2,1 para −3), nunca aumentá-lo. Com esse cuidado, você evita o erro de sinal que derruba a maioria.
Para conferir seu resultado, use a propriedade: resto(x, y) = x − y·k, onde k = ⌊x/y⌋. Verifique sempre se k ≤ x/y < k+1. No caso, k = −3, e −3 ≤ −2,1 < −2, o que confirma o piso. Essa checagem rápida evita erros de sinal e garante a resposta.
Gabarito: letra A
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