Questão de Matemática — Análise Combinatória (Princípio Fundamental da Contagem, Arranjos, Combinações, Permutações) — FGV 2026
Matemática›Análise Combinatória (Princípio Fundamental da Contagem, Arranjos, Combinações, Permutações)
Código
fg156194
Banca
FGV
Órgão
ALERO
Ano
2026
Cargo
Ana Leg ( )
Um gerente de uma equipe quer sortear 4 bônus de produtividade idênticos entre os 4 colaboradores de sua equipe (A, B, C e D). A regra do sorteio estabelece que é possível que qualquer um dos colaboradores receba mais de um bônus, desde que não fique com todos.
A seguir, apresentam-se duas possibilidades de distribuição dos bônus.
A
B
C
D
0
2
2
0
3
0
0
1
De acordo com as regras, o número total de possíveis formas de distribuir tais bônus é
A24.
B31.
C32.
D34.
E35.
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GabaritoB — 31.
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Resolução
Gabarito: letra B — a conta chega a 31 distribuições — alternativa B.
A ideia por trás
A combinação com repetição conta de quantas maneiras podemos distribuir objetos idênticos entre grupos distintos, permitindo que um grupo receba vários objetos ou nenhum. É como colocar bolinhas iguais em caixas diferentes, sem se importar com a ordem dentro de cada caixa. A fórmula é CR(n, p) = C(n+p-1, p), onde n é o número de grupos e p é o número de objetos.
A fórmula CR(n, p) = C(n+p-1, p) vem do método das barras: para separar p objetos idênticos entre n grupos, usamos n-1 barras. O total de símbolos é p + (n-1), e escolhemos as posições das barras (ou dos objetos). Por exemplo, com 4 objetos e 4 grupos, temos 7 símbolos e escolhemos 4 posições para os objetos, dando C(7,4) = 35. Essa contagem inclui todos os casos, inclusive aqueles em que um grupo fica com tudo.
Esta questão pede o total de distribuições com repetição, mas com uma restrição: nenhum colaborador pode ficar com todos os 4 bônus. Então precisamos calcular o total sem restrição e subtrair os casos proibidos.
O que a questão dá
4 colaboradores (A, B, C, D)
4 bônus idênticos
regra: um colaborador pode receber mais de um bônus, mas não todos
O que queremos: o número total de formas de distribuir os 4 bônus entre os 4 colaboradores respeitando a regra
Passo 1 — Calcular o total sem restrição
Primeiro contamos todas as maneiras de distribuir os 4 bônus idênticos entre os 4 colaboradores, permitindo que um fique com todos. Isso é o caso geral da combinação com repetição.
Por que esta fórmula: A combinação com repetição CR(n, p) = C(n+p-1, p) é a fórmula certa porque os bônus são idênticos e cada colaborador pode receber qualquer quantidade, inclusive zero. Aqui n = 4 (colaboradores) e p = 4 (bônus).
De onde vem cada valor: = enunciado: 4 colaboradores · = enunciado: 4 bônus · = constante: n+p-1 = 4+4-1 = 7 · = constante: n+p-1 = 7
NÃO CAIA NESSA!
Esquecer que a fórmula é C(n+p-1, p) e usar C(n, p) = C(4,4) = 1, o que daria errado.
Passo 2 — Contar os casos proibidos
A regra diz que nenhum colaborador pode ficar com todos os 4 bônus. Precisamos saber quantas distribuições violam isso para subtraí-las do total.
Por que esta fórmula: Não há fórmula: basta pensar que, para cada colaborador, existe exatamente uma distribuição em que ele recebe os 4 bônus e os outros recebem 0. Como são 4 colaboradores, são 4 casos proibidos.
4 casos proibidos
NÃO CAIA NESSA!
Contar apenas 1 caso proibido, pensando que 'um colaborador fica com todos' é uma situação única, mas são 4 (um para cada colaborador).
Passo 3 — Subtrair os casos proibidos do total
O total sem restrição inclui os casos em que um colaborador fica com tudo, que são exatamente os que a regra proíbe. Subtraindo, obtemos o número de distribuições válidas.
Por que esta fórmula: A operação é uma subtração simples: total de distribuições possíveis menos as que violam a regra.
De onde vem cada valor: = passo 1: 35 · = passo 2: 4