Questão de Matemática — Setor e Segmento Circular. Comprimento de Corda. — FGV 2026

Comprimento de Arco e Ângulo Central

Gabarito: letra C — o ângulo AÔC mede aproximadamente 113,1°, portanto está entre 110° e 115°. A resolução usa a relação entre o comprimento do arco percorrido pelo ponto A e o raio da circunferência (OA = 130 cm), aplicando a fórmula do comprimento de arco: $\text{arco} = \text{raio} \times \text{ângulo (em radianos)}$.

O problema descreve um limpador de para-brisa que oscila em torno de um ponto fixo O. A haste metálica é o segmento AO, e a parte emborrachada é o segmento AB. Como os pontos O, A e B são colineares, o ponto A está a uma distância de O igual a OA, e o ponto B está a uma distância OB. O enunciado fornece:

• BO = 80 cm (distância do centro O até a extremidade B da borracha)

• AB = 50 cm (comprimento da borracha)

• O ponto A percorre, a cada oscilação, 38π cm.

Primeiro, precisamos entender o que significa "o ponto A percorre 38π cm a cada oscilação". Uma oscilação completa é o movimento de ida e volta: o limpador vai de uma posição extrema até a outra e volta. Portanto, o ponto A percorre o arco de A até C (ida) e depois de C até A (volta). Assim, a distância total percorrida em uma oscilação é o dobro do comprimento do arco AC.

Vamos calcular o raio da trajetória do ponto A. Como O, A e B são colineares, temos:

OA = OB - AB = 80 cm - 50 cm = 30 cm.

Espera, isso não parece certo. Vamos reler: "BO e AB medem 80 cm e 50 cm". BO é a distância de B até O, e AB é a distância de A até B. Como O, A e B são colineares, e a ordem é O-A-B (pois a haste vai de O até A, e a borracha vai de A até B), temos:

OB = OA + AB.

Portanto, OA = OB - AB = 80 cm - 50 cm = 30 cm.

Mas isso daria um raio de 30 cm para o ponto A. Vamos verificar se isso é consistente com o comprimento do arco percorrido. Se o ponto A percorre 38π cm em uma oscilação (ida e volta), então o arco AC (só ida) tem comprimento:

arco AC = 38π / 2 = 19π cm.

Agora, o comprimento de um arco é dado por:

arco = raio × ângulo (em radianos).

Assim, para o ponto A:

19π = 30 × θ θ = 19π / 30 rad.

Convertendo para graus:

θ = (19π / 30) × (180° / π) = 19 × 180° / 30 = 19 × 6° = 114°.

O ângulo AÔC é exatamente θ, pois é o ângulo central que determina o arco AC. Portanto, AÔC = 114°, que está entre 110° e 115°. Isso confirma a alternativa C.

Mas espere, vamos verificar se a interpretação da ordem dos pontos está correta. O enunciado diz: "A haste metálica do limpador é representada pelo segmento AO. A parte emborrachada – aquela que efetivamente limpa o para-brisa – é representada pelo segmento AB. Portanto, os pontos O, A e B são colineares."

Isso indica que a haste vai de O até A, e a borracha vai de A até B. Como a haste é fixada no ponto O (centro de rotação), a ordem natural é O-A-B. Assim, OB = OA + AB, e OA = 80 - 50 = 30 cm. Correto.

Agora, vamos pensar: o ponto A percorre 38π cm a cada oscilação. Uma oscilação é o movimento de ida e volta. Então, o arco percorrido na ida (de A até C) é metade disso, ou seja, 19π cm. O raio da trajetória de A é OA = 30 cm. Aplicando a fórmula do comprimento de arco, encontramos o ângulo central em radianos e depois convertemos para graus.

Vamos fazer os cálculos passo a passo:

1. Comprimento do arco AC (ida): $L_{AC} = \frac{38\pi}{2} = 19\pi$ cm.

2. Raio da trajetória de A: $r_A = OA = OB - AB = 80 - 50 = 30$ cm.

3. Ângulo central em radianos: $\theta = \frac{L_{AC}}{r_A} = \frac{19\pi}{30}$ rad.

4. Conversão para graus: $\theta = \frac{19\pi}{30} \times \frac{180^\circ}{\pi} = \frac{19 \times 180}{30} = 19 \times 6 = 114^\circ$.

Portanto, o ângulo AÔC mede 114°, que está no intervalo de 110° a 115°.

A pegadinha desta questão está em dois pontos: primeiro, o aluno pode esquecer que uma oscilação completa inclui ida e volta, usando 38π cm como o comprimento do arco AC diretamente, o que daria um ângulo de 228° (fora do intervalo). Segundo, o aluno pode errar ao calcular o raio, confundindo OA com OB ou com AB. É fundamental identificar que OA = OB - AB.

Vamos verificar cada alternativa:

Alternativa A — ❌ Incorreta

Afirma que o ângulo está entre 100° e 105°. Isso seria obtido se o aluno usasse o comprimento total da oscilação (38π cm) como o arco de ida, resultando em um ângulo de 228°, ou se errasse o raio. O valor correto é 114°, que não está nesse intervalo.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Afirma que o ângulo está entre 105° e 110°. Isso seria obtido se o aluno usasse o raio errado (por exemplo, OA = 40 cm, se confundisse AB com OA) ou se cometesse um erro de conversão. O valor correto é 114°, que está acima de 110°.

Alternativa C — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Afirma que o ângulo está entre 110° e 115°. O cálculo correto mostra que AÔC = 114°, que está exatamente nesse intervalo. A resolução envolve: (1) calcular OA = OB - AB = 80 - 50 = 30 cm; (2) dividir o comprimento total da oscilação por 2 para obter o arco de ida (19π cm); (3) aplicar a fórmula do comprimento de arco para encontrar o ângulo em radianos; (4) converter para graus, obtendo 114°.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Afirma que o ângulo está entre 115° e 120°. Isso seria obtido se o aluno usasse um raio ligeiramente menor (por exemplo, OA = 29 cm) ou se arredondasse incorretamente. O valor correto é 114°, que está abaixo de 115°.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Afirma que o ângulo está entre 120° e 125°. Isso seria obtido se o aluno usasse o comprimento total da oscilação (38π cm) como o arco de ida e um raio de 30 cm, resultando em 228°, ou se cometesse um erro de cálculo. O valor correto é 114°.

Gabarito: letra C