Questão de Matemática — Funções reais de variável real (cálculo diferencial e integral) — FGV 2026

Resolução

Gabarito: letra E — a conta chega a +∞ — alternativa E.

A ideia por trás

O limite lateral é o valor para o qual a função se aproxima quando a variável x se aproxima de um ponto por um lado específico — pela direita (x > a) ou pela esquerda (x < a). Ele descreve o comportamento da função nas vizinhanças do ponto, mesmo que a função não esteja definida nele. Quando o denominador de uma fração tende a zero, o quociente pode crescer ou decrescer sem limite, resultando em +∞ ou -∞.

Para uma função racional como f(x) = (2x - 1)/(x - 1), o que importa é o sinal do denominador quando x se aproxima de 1. Se o numerador tende a um valor positivo (aqui, 1) e o denominador tende a zero por valores positivos, o quociente tende a +∞; se o denominador tende a zero por valores negativos, o quociente tende a -∞. O limite bilateral só existe se os limites laterais forem iguais; caso contrário, não existe.

Esta questão cobra exatamente a análise do sinal do denominador na aproximação pela direita. Precisamos verificar que, para x > 1, o denominador é positivo e tende a zero, enquanto o numerador é positivo e tende a 1, o que leva a +∞.

O que a questão dá

• função f(x) = (2x - 1)/(x - 1)

• ponto de aproximação: x = 1

• aproximação pela direita (x > 1)

O que queremos: o limite lateral de f(x) quando x tende a 1 por valores maiores que 1

Passo 1 — Analisar o numerador quando x tende a 1

Antes de dividir, precisamos saber o comportamento de cada parte da fração. O numerador 2x - 1 é uma função contínua, então basta substituir x por 1 para ver a que valor ele se aproxima.

Por que esta fórmula: Não há fórmula; é uma substituição direta no numerador, pois ele não tem problema em x = 1.

De onde vem cada valor: $2 \cdot 1$ = enunciado: numerador 2x - 1 com x = 1 · $1$ = enunciado: termo constante do numerador

Passo 2 — Analisar o denominador quando x tende a 1 pela direita

O denominador x - 1 é o que causa a indeterminação. Precisamos saber se ele tende a zero por valores positivos ou negativos, pois isso decide o sinal do infinito.

Por que esta fórmula: Para x > 1, temos x - 1 > 0. Por exemplo, se x = 1,1, então x - 1 = 0,1; se x = 1,01, então x - 1 = 0,01. O denominador é positivo e cada vez menor.

De onde vem cada valor: $x$ = enunciado: x se aproxima de 1 por valores maiores que 1 · $1$ = enunciado: ponto de aproximação

denominador positivo tendendo a 0

Passo 3 — Dividir positivo por positivo pequeno

Com o numerador positivo (≈1) e o denominador positivo tendendo a zero, a divisão de um número fixo por um número cada vez menor produz um quociente cada vez maior, sem limite.

Por que esta fórmula: Não há fórmula; é a interpretação do quociente: 1 dividido por 0,1 dá 10; por 0,01 dá 100; por 0,001 dá 1000. O resultado cresce indefinidamente.

De onde vem cada valor: $1$ = passo 1: numerador tende a 1 · $0{,}1; 0{,}01; 0{,}001$ = passo 2: denominador positivo tendendo a 0

quociente cresce sem limite

Resposta: +∞ — alternativa E