Questão de Matemática — Função de Segundo Grau — FGV 2026

Função de segundo grau aplicada à arrecadação

Gabarito: letra C. A arrecadação $A(t) = V(t) \cdot Q(t) = (50 + 5t)(1200 - 40t)$ é uma função quadrática com coeficiente $a = -200 < 0$, portanto uma parábola com concavidade para baixo. O vértice ocorre em $t = 10$, onde a arrecadação atinge seu valor máximo, e a partir daí ela decresce — exatamente o que a alternativa C descreve.

O problema combina duas funções do primeiro grau — uma crescente (a taxa $V(t)$) e uma decrescente (a quantidade $Q(t)$) — e pede para analisar o comportamento do produto delas. Quando multiplicamos duas funções afins, o resultado é uma função quadrática, cujo gráfico é uma parábola. O sinal do coeficiente do termo de grau 2 (o coeficiente $a$) determina a concavidade: se $a > 0$, a parábola tem concavidade para cima (ponto de mínimo); se $a < 0$, concavidade para baixo (ponto de máximo).

Vamos expandir a expressão para ver isso claramente:

Aqui, $a = -200$, $b = 4000$ e $c = 60000$. Como $a < 0$, a parábola tem concavidade para baixo, o que significa que a função possui um ponto de máximo (vértice). O vértice é calculado por:

Portanto, a arrecadação cresce até o mês $t = 10$, atinge o valor máximo nesse ponto e depois decresce. O valor máximo é:

Ou seja, a arrecadação máxima é de R$ 80.000,00 no mês 10. Esse comportamento — subir, atingir um pico e depois cair — é típico de uma parábola com concavidade para baixo, e é exatamente o que a alternativa C descreve.

A pegadinha aqui é que muitos candidatos olham apenas para as funções lineares e pensam que, como uma cresce e a outra decresce, o produto seria constante ou seguiria uma das tendências. Mas o produto de duas funções lineares é uma função quadrática, e o comportamento é determinado pelo coeficiente do termo de grau 2, não pelas taxas individuais. Vamos analisar cada alternativa.

Alternativa A — ❌ Incorreta

Afirma que a arrecadação será estritamente crescente porque o aumento de preço compensa a redução na quantidade. Isso ignora que o produto de duas funções lineares é uma função quadrática, não uma função linear. A arrecadação cresce apenas até $t = 10$; depois, a queda na quantidade (40 toneladas/mês) passa a dominar o aumento da taxa (R$ 5,00/mês), e a arrecadação começa a cair. O erro está em tratar o problema como se fosse linear, quando na verdade é quadrático.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Afirma que a arrecadação começará a cair imediatamente porque a redução na quantidade (40 toneladas/mês) gera impacto financeiro superior ao ganho marginal de R$ 5,00 na taxa. Isso é falso: no início, o aumento da taxa compensa a queda da quantidade. Por exemplo, no mês 1, a arrecadação é $A(1) = (50 + 5)(1200 - 40) = 55 \cdot 1160 = 63800$, que é maior que $A(0) = 50 \cdot 1200 = 60000$. A arrecadação cresce até $t = 10$, então não cai imediatamente. O erro está em comparar as taxas de variação absolutas sem considerar o produto.

Alternativa C — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Descreve exatamente o comportamento da função quadrática: aumenta no início, atinge um pico máximo em $t = 10$ e depois cai. Isso é consistente com a análise do vértice: $t_v = 10$, e como $a < 0$, o vértice é um ponto de máximo. A arrecadação máxima é $A(10) = 80000$ reais. A alternativa está correta porque captura a essência do comportamento parabólico.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Afirma que a arrecadação será constante e estável em torno de R$ 60.000, pois o aumento de preço anula a queda da quantidade. Isso é falso: a arrecadação não é constante, ela varia conforme a função quadrática. Em $t = 0$, $A(0) = 60000$; em $t = 10$, $A(10) = 80000$; em $t = 24$, $A(24) = (50 + 120)(1200 - 960) = 170 \cdot 240 = 40800$. Ou seja, a arrecadação muda significativamente ao longo do tempo. O erro está em supor que os efeitos se anulam perfeitamente, o que não ocorre.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Afirma que a arrecadação será estritamente decrescente porque o termo de grau 2 tem coeficiente negativo. Embora o coeficiente $a = -200$ seja negativo, isso não significa que a função seja estritamente decrescente em todo o domínio. A função cresce até $t = 10$ e depois decresce. O coeficiente negativo apenas indica que a parábola tem concavidade para baixo, com um ponto de máximo, não que a função seja monotonicamente decrescente. O erro está em confundir concavidade com monotonicidade.

Gabarito: letra C — a arrecadação segue uma parábola com concavidade para baixo, crescendo até $t = 10$ e decrescendo a partir daí.