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Questão de Matemática — Produtos Notáveis — FGV 2026

MatemáticaProdutos Notáveis
Código
fg156199
Banca
FGV
Órgão
ALERO
Ano
2026
Cargo
Ana Leg ( )

Considere dois números inteiros positivos a e b tais que:

 

a=65.432×65.432a = 65.432 \times 65.432

 

b=65433×65.431b = 65433 \times 65.431

 

A diferença a - b vale

  1. A0.
  2. B1.
  3. C2.
  4. D65.432.
  5. E65.433.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoB — 1.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra B — a conta chega a a - b = 1, alternativa B.

A ideia por trás

Produtos notáveis são atalhos para multiplicar expressões que aparecem com frequência, sem precisar fazer a conta longa. O produto da soma pela diferença é um deles: quando você multiplica (x + y) por (x - y), o resultado é x² - y², ou seja, a diferença entre os quadrados dos dois termos. Ele aparece sempre que dois números são equidistantes de um terceiro, como 65.433 e 65.431 em relação a 65.432.

A relação é (x + y)(x - y) = x² - y². Aqui, x é o número central (65.432) e y é a distância até os extremos (1). O produto dos dois números que estão a uma unidade de distância do centro é sempre o quadrado do centro menos 1, porque (x + 1)(x - 1) = x² - 1. Isso vale para qualquer número inteiro, e é exatamente o que torna a conta limpa.

Esta questão cobra justamente esse padrão: perceber que 65.433 e 65.431 são (65.432 + 1) e (65.432 - 1), e que o produto deles é 65.432² - 1. A partir daí, a diferença entre a e b fica trivial.

O que a questão dá

  • a = 65.432 × 65.432

  • b = 65.433 × 65.431

O que queremos: o valor da diferença a - b

Passo 1 — Reconhecer o padrão de produto notável

Antes de qualquer conta, olhe para os números: 65.433 e 65.431 estão a uma unidade de distância de 65.432. Isso é a cara do produto da soma pela diferença, que permite reescrever o produto de forma muito mais simples.

Por que esta fórmula: A identidade (x + y)(x - y) = x² - y² é o produto notável que se aplica quando temos dois fatores que são soma e diferença do mesmo par de termos. Aqui, x = 65.432 e y = 1.

b=(x+1)(x−1)b = (x + 1)(x - 1)

De onde vem cada valor: xx = enunciado: 65.432 · 11 = constante: 1

b=(65.432+1)(65.432−1)b = (65.432 + 1)(65.432 - 1)
NÃO CAIA NESSA!

Não perceber que 65.433 e 65.431 são simétricos em relação a 65.432, e tentar multiplicar direto

Passo 2 — Aplicar o produto notável em b

Agora que identificamos o padrão, usamos a identidade para transformar o produto em uma diferença de quadrados, o que elimina a multiplicação grande.

Por que esta fórmula: A identidade (x + y)(x - y) = x² - y² é exatamente o que precisamos, pois temos a soma e a diferença do mesmo x.

b=x2−12b = x^{2} - 1^{2}

De onde vem cada valor: xx = passo 1: 65.432 · 11 = constante: 1

b=65.4322−12=65.432 2−1b = 65.432^{2} - 1^{2} = \boxed{65.432\ ^{2} - 1}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer que 1² = 1 e escrever b = 65.432² - 1², o que daria o mesmo, mas confundir com 65.432² - 2

Passo 3 — Escrever a expressão de a

Precisamos de a para comparar com b. a é simplesmente o quadrado de 65.432, então não há o que simplificar.

Por que esta fórmula: a = 65.432 × 65.432 é, por definição, o quadrado de 65.432.

a=x2a = x^{2}

De onde vem cada valor: xx = enunciado: 65.432

a=65.4322=65.432 2a = 65.432^{2} = \boxed{65.432\ ^{2}}
NÃO CAIA NESSA!

Nenhum, é direto

Passo 4 — Calcular a diferença a - b

Com a e b expressos em termos de 65.432², a diferença fica simples: subtraímos as expressões e os termos 65.432² se cancelam.

Por que esta fórmula: Subtração algébrica: a - b = 65.432² - (65.432² - 1).

a−b=x2−(x2−1)a - b = x^{2} - (x^{2} - 1)

De onde vem cada valor: x2x^{2} = passo 3: 65.432² · x2−1x^{2} - 1 = passo 2: 65.432² - 1

a−b=65.4322−(65.4322−1)=1a - b = 65.432^{2} - (65.432^{2} - 1) = \boxed{1}
NÃO CAIA NESSA!

Errar o sinal ao subtrair: esquecer que menos com menos dá mais, e obter 65.432² - 65.432² - 1 = -1

Resposta: a - b = 1, alternativa B

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