Questão de Matemática — Função Inversa — FGV 2026

Função Inversa e Composição de Funções

Gabarito: letra D — a expressão $f(g(g(f(n))))$ resulta em $n$, pois $g$ é a função inversa de $f$, e a composição de uma função com sua inversa (em qualquer ordem) é a função identidade. Aplicando as operações de dentro para fora, $g(f(n)) = n$, depois $g(g(f(n))) = g(n)$, e finalmente $f(g(n)) = n$.

O conceito central aqui é a função inversa. Dada uma função bijetora $f: A \to B$, sua inversa $f^{-1}: B \to A$ é a função que "desfaz" o que $f$ faz: se $f(a) = b$, então $f^{-1}(b) = a$. A propriedade fundamental que define a inversa é que, ao compor uma função com sua inversa, obtemos a função identidade:

Isso significa que aplicar $f$ e depois $f^{-1}$ (ou vice-versa) a um elemento qualquer retorna o próprio elemento. É exatamente essa propriedade que a questão explora, mas com uma pequena reviravolta: a função inversa é chamada de $g$, e a expressão pedida é $f(g(g(f(n))))$.

Vamos resolver passo a passo, de dentro para fora:

1. $f(n)$: aplica a função $f$ ao número original $n$, obtendo um valor codificado, digamos $m = f(n)$.

2. $g(f(n))$: como $g$ é a inversa de $f$, aplicar $g$ ao resultado de $f(n)$ desfaz a codificação: $g(f(n)) = n$.

3. $g(g(f(n)))$: agora temos $g(n)$. Como $g$ é a inversa de $f$, aplicar $g$ novamente significa aplicar a inversa de $f$ ao valor $n$. Isso nos dá $g(n)$, que é o valor que, quando aplicamos $f$, retorna $n$. Ou seja, $g(n)$ é simplesmente a imagem inversa de $n$.

4. $f(g(g(f(n))))$: por fim, aplicamos $f$ ao resultado do passo anterior, $f(g(n))$. Como $g$ é a inversa de $f$, $f(g(n)) = n$.

Portanto, a expressão inteira se reduz a $n$. A chave é reconhecer que pares de funções inversas se cancelam, independentemente da ordem em que aparecem. A banca poderia ter colocado qualquer combinação de $f$ e $g$ — desde que cada $f$ tivesse um $g$ correspondente para cancelá-lo, o resultado seria sempre $n$.

A pegadinha aqui é que muitos alunos tentam aplicar as funções da esquerda para a direita, ou se perdem na notação $g(g(f(n)))$. A dica é sempre começar de dentro para fora, identificando pares de função e inversa. Como $g$ é a inversa de $f$, qualquer sequência que contenha um número igual de $f$'s e $g$'s, aplicados de forma intercalada, resultará no valor original.

Alternativa A — ❌ Incorreta

O resultado não é 0. A expressão não envolve nenhuma operação que zere o valor; ela apenas aplica funções e suas inversas, que se cancelam. O número 0 só apareceria se houvesse uma operação de subtração ou multiplicação por zero, o que não é o caso.

Alternativa B — ❌ Incorreta

O resultado não é 1. A função identidade retorna o próprio valor de entrada, não o número 1. O valor 1 só seria o resultado se $n = 1$, mas a questão pede o resultado em função de $n$, que é genérico.

Alternativa C — ❌ Incorreta

O resultado não é $n - 1$. Não há nenhuma operação de subtração na expressão. A composição de uma função com sua inversa é a identidade, que preserva o valor, não o altera subtraindo 1.

Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO

A expressão $f(g(g(f(n))))$ resulta em $n$. Como $g$ é a inversa de $f$, temos $g(f(n)) = n$ e $f(g(n)) = n$. Portanto, a sequência inteira se reduz ao valor original $n$. Esta é a propriedade fundamental da função inversa: compor uma função com sua inversa (em qualquer ordem) retorna o elemento original.

Alternativa E — ❌ Incorreta

O resultado não é $n + 1$. Não há nenhuma operação de adição na expressão. A composição de uma função com sua inversa é a identidade, que preserva o valor, não o altera somando 1.

Gabarito: letra D