Questão de Matemática — Geometria Analítica — FGV 2026

Distância entre dois pontos no plano cartesiano

Gabarito: letra C. O ponto mais próximo de P(1, 2) é (3, 3), pois a distância entre eles é $\sqrt{5}$, a menor entre todas as opções. Para comparar, basta calcular a distância euclidiana entre P e cada alternativa — a fórmula $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ é o critério que decide a questão.

A distância entre dois pontos no plano cartesiano é o comprimento do segmento de reta que os une. Imagine que você anda na horizontal e depois na vertical: a distância em linha reta é a hipotenusa do triângulo retângulo formado por esses dois deslocamentos. Por isso, a fórmula vem direto do Teorema de Pitágoras: $d^2 = (\Delta x)^2 + (\Delta y)^2$, onde $\Delta x$ é a diferença entre as abscissas e $\Delta y$ a diferença entre as ordenadas.

Na prática, para cada alternativa, você subtrai as coordenadas de P, eleva ao quadrado, soma e tira a raiz. Mas repare: como todas as distâncias são positivas, comparar as distâncias é o mesmo que comparar os quadrados das distâncias — isso evita calcular raízes e agiliza a resolução. Vamos fazer isso para cada ponto.

A pegadinha aqui é sutil: o ponto (3, 3) não é o que parece mais próximo à primeira vista (muitos escolheriam (1, −1) por ter a mesma abscissa, ou (3, 0) por estar no mesmo quadrante). Mas a conta mostra que a menor distância é justamente a da alternativa C. Guarde o método: sempre calcule as distâncias, nunca confie na intuição visual.

Alternativa A — ❌ Incorreta

O ponto (3, 0) está a uma distância de $\sqrt{(3-1)^2 + (0-2)^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} \approx 2{,}83$. Esse valor é maior que $\sqrt{5} \approx 2{,}24$, então não é o mais próximo. O erro aqui é achar que, por estar no mesmo quadrante de P, a distância seria menor — mas a distância depende das duas coordenadas, não só da direção.

Alternativa B — ❌ Incorreta

O ponto (1, −1) tem a mesma abscissa de P, então a distância é apenas a diferença das ordenadas: $|2 - (-1)| = 3$. Isso é maior que $\sqrt{5} \approx 2{,}24$. A tentação é escolher este por compartilhar o x, mas a distância vertical de 3 unidades é maior que a distância diagonal até (3, 3).

Alternativa C — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Calculando: $d = \sqrt{(3-1)^2 + (3-2)^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5} \approx 2{,}24$. Esse é o menor valor entre todas as alternativas. O ponto (3, 3) está a apenas 2 unidades na horizontal e 1 na vertical de P, formando um triângulo retângulo de catetos 2 e 1 — a hipotenusa $\sqrt{5}$ é a menor distância possível entre as opções.

Alternativa D — ❌ Incorreta

O ponto (−2, 0) está a $\sqrt{(-2-1)^2 + (0-2)^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13} \approx 3{,}61$. É uma distância bem maior que a da alternativa C. Aqui o erro seria pensar que a distância horizontal de 3 e a vertical de 2 somam 5, mas a distância real é a raiz da soma dos quadrados, não a soma direta.

Alternativa E — ❌ Incorreta

O ponto (0, 5) está a $\sqrt{(0-1)^2 + (5-2)^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10} \approx 3{,}16$. Também é maior que $\sqrt{5}$. A distância vertical de 3 unidades e a horizontal de 1 resultam em uma distância maior que a da alternativa C, mostrando que a proximidade não é determinada por uma única coordenada.

Gabarito: letra C