Pular para o conteúdo principal

Questão de Matemática — Divisibilidade, Números Primos, Fatores Primos, Divisor e Múltiplo Comum (MMC) — FGV 2026

MatemáticaDivisibilidade, Números Primos, Fatores Primos, Divisor e Múltiplo Comum (MMC)
Código
fg156209
Banca
FGV
Órgão
ALERO
Ano
2026
Cargo
Ass Leg ( )
O professor de João pediu que ele escrevesse todos os pares ordenados de números inteiros positivos (b, h) tal que b seja a base e h seja a altura de um retângulo de área 48.   João fez corretamente o que seu professor pediu.   O número de pares ordenados escritos por João foi
  1. A5.
  2. B6.
  3. C9.
  4. D10.
  5. E20.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoD — 10.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra D — a conta chega a 10 pares ordenados — alternativa D.

A ideia por trás

Um retângulo tem área igual ao produto da base pela altura. Quando a área é um número inteiro fixo, cada divisor positivo desse número pode ser a base, e a altura é o quociente correspondente. O número de divisores positivos de um inteiro é a quantidade de maneiras de escolher um fator que o divide exatamente.

Para contar divisores, fatoramos o número em primos: se n = p₁^a × p₂^b × ... × pₖ^c, então o número de divisores positivos é (a+1)(b+1)...(c+1). Cada divisor gera um par (b, h) com b × h = n, e como o par é ordenado, (b, h) e (h, b) são distintos, a menos que b = h, o que só ocorre se n for quadrado perfeito.

A questão pede exatamente o número de pares ordenados, que coincide com o número de divisores positivos de 48. Basta fatorar 48 e aplicar a fórmula.

O que a questão dá

  • área do retângulo = 48

  • b e h são inteiros positivos

  • pares ordenados (b, h)

O que queremos: o número de pares ordenados (b, h) de inteiros positivos com b × h = 48

Passo 1 — Fatorar 48 em primos

Para contar os divisores de 48, precisamos da decomposição em fatores primos. Isso é a base da fórmula de contagem.

Por que esta fórmula: Todo inteiro maior que 1 pode ser escrito como produto de primos. Fatorar é dividir sucessivamente pelos menores primos até sobrar 1.

48=24×348 = 2^{4} \times 3

De onde vem cada valor: 242^{4} = definição: fatoração de 48, dividindo por 2 quatro vezes · 33 = definição: fatoração de 48, resto após dividir por 2 quatro vezes

48=2×2×2×2×348 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3
48=24×348 = \boxed{2^{4} \times 3}
NÃO CAIA NESSA!

Fatorar como 2^3 × 6, esquecendo que 6 não é primo.

Passo 2 — Calcular o número de divisores

Com a fatoração em mãos, aplicamos a fórmula que conta os divisores: cada expoente é acrescido de 1 e os resultados são multiplicados.

Por que esta fórmula: A fórmula (a+1)(b+1)... vem do princípio multiplicativo: para cada primo, o expoente pode variar de 0 até o valor máximo, dando (expoente+1) opções.

d(48)=(4+1)×(1+1)d(48) = (4+1) \times (1+1)

De onde vem cada valor: 44 = passo 1: expoente de 2 na fatoração · 11 = passo 1: expoente de 3 na fatoração

d(48)=5×2=10 divisoresd(48) = 5 \times 2 = \boxed{10\ \text{divisores}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de somar 1 a cada expoente, contando 4 × 1 = 4.

Passo 3 — Relacionar divisores com pares ordenados

Cada divisor positivo de 48 pode ser a base b, e a altura h = 48/b será inteira. Como o par é ordenado, cada divisor gera um par distinto, e não há repetição porque 48 não é quadrado perfeito.

Por que esta fórmula: Não há fórmula nova: é a definição de divisor. Se b divide 48, então 48/b é inteiro, e o produto b × (48/b) = 48.

10 pares ordenados

NÃO CAIA NESSA!

Contar apenas pares não ordenados, como (1,48) e (48,1) como um só, obtendo 5.

Resposta: 10 pares ordenados — alternativa D

Link permanente: /questoes/fg156209