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Questão de Matemática — Análise Combinatória (Princípio Fundamental da Contagem, Arranjos, Combinações, Permutações) — FGV 2026

MatemáticaAnálise Combinatória (Princípio Fundamental da Contagem, Arranjos, Combinações, Permutações)
Código
fg156210
Banca
FGV
Órgão
ALERO
Ano
2026
Cargo
Ass Leg ( )
Cinco amigas disputaram um torneio de simples de tênis no qual cada uma delas jogou uma única vez com cada uma das outras quatro.   Nos jogos de tênis não há empates.   Sabe-se que:   •Ângela ganhou duas partidas;   • Bia ganhou uma partida;   • Carla perdeu todas as partidas;   • Denise ganhou três partidas.   O número de partidas que Eunice (a quinta amiga) ganhou foi
  1. A6.
  2. B5.
  3. C4.
  4. D3.
  5. E2.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoC — 4.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra C — a conta chega a Eunice ganhou 4 partidas — alternativa C.

A ideia por trás

Análise combinatória é a parte da matemática que conta de quantas maneiras podemos escolher ou organizar elementos. Aqui, o princípio fundamental da contagem diz que, se uma escolha tem m opções e outra tem n, o total de combinações é m vezes n. Uma ferramenta útil é a combinação C(n,k), que conta quantos grupos de k elementos podemos formar a partir de n elementos, sem importar a ordem.

A combinação C(n,k) = n! / (k! (n-k)!) conta quantos subconjuntos de tamanho k existem em um conjunto de n elementos. Por exemplo, C(5,2) = 10 conta quantos pares de amigas existem entre 5 pessoas. A relação importante aqui é que, em um torneio onde todos jogam contra todos uma vez, o número total de partidas é exatamente C(n,2). E como não há empates, cada partida gera exatamente uma vitória, então a soma das vitórias de todas as jogadoras é igual ao número total de partidas.

Esta questão cobra exatamente essa conservação: o total de vitórias é fixo e igual ao número de partidas. Precisamos calcular quantas partidas existem e subtrair as vitórias conhecidas para achar as de Eunice.

O que a questão dá

  • 5 amigas no torneio

  • cada par jogou uma única vez

  • Ângela ganhou 2 partidas

  • Bia ganhou 1 partida

  • Carla perdeu todas (0 vitórias)

  • Denise ganhou 3 partidas

  • não há empates

O que queremos: quantas partidas Eunice ganhou

Passo 1 — Calcular o número total de partidas

Para saber quantas vitórias existem no total, precisamos primeiro saber quantas partidas foram disputadas. Como cada par de amigas jogou uma vez, o número de partidas é o número de pares possíveis entre 5 pessoas.

Por que esta fórmula: A combinação C(5,2) conta exatamente quantos pares distintos podemos formar com 5 elementos, sem importar a ordem. É a fórmula certa porque cada partida é um par de amigas.

C5,2=5!2!⋅3!C_{5,2} = \frac{5!}{2! \cdot 3!}

De onde vem cada valor: 55 = enunciado: cinco amigas · 22 = definição: cada partida envolve 2 amigas

C5,2=5×42=10 partidasC_{5,2} = \frac{5 \times 4}{2} = \boxed{10\ \text{partidas}}
NÃO CAIA NESSA!

Usar arranjo A(5,2) = 20, contando cada par duas vezes (ordem importa), o que daria o dobro do total.

Passo 2 — Somar as vitórias conhecidas

Cada partida tem exatamente uma vencedora, então a soma das vitórias de todas as jogadoras é igual ao número total de partidas. Somando as vitórias que já sabemos, descobrimos quantas vitórias faltam para Eunice.

Por que esta fórmula: Não é uma fórmula, é uma soma direta dos dados do enunciado.

Vconhecidas=2+1+0+3V_{conhecidas} = 2 + 1 + 0 + 3

De onde vem cada valor: 22 = enunciado: Ângela ganhou 2 · 11 = enunciado: Bia ganhou 1 · 00 = enunciado: Carla perdeu todas · 33 = enunciado: Denise ganhou 3

Vconhecidas=2+1+0+3=6 vitoˊriasV_{conhecidas} = 2 + 1 + 0 + 3 = \boxed{6\ \text{vit}ó\text{rias}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de incluir Carla com 0 vitórias — ela jogou, mas não ganhou nenhuma.

Passo 3 — Subtrair do total para achar as vitórias de Eunice

Como o total de vitórias é 10 e já contabilizamos 6, o restante só pode ser de Eunice. Essa subtração usa a conservação do total.

Por que esta fórmula: A soma das vitórias de todas as jogadoras é igual ao total de partidas. Então, vitórias de Eunice = total - vitórias das outras.

VEunice=Vtotal−VconhecidasV_{Eunice} = V_{total} - V_{conhecidas}

De onde vem cada valor: VtotalV_{total} = passo 1: 10 partidas · VconhecidasV_{conhecidas} = passo 2: 6 vitórias

VEunice=10−6=4 vitoˊriasV_{Eunice} = 10 - 6 = \boxed{4\ \text{vit}ó\text{rias}}
NÃO CAIA NESSA!

Tentar montar o cruzamento de quem ganhou de quem — desnecessário e confuso; a conservação do total resolve direto.

Resposta: Eunice ganhou 4 partidas — alternativa C

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