GabaritoA — 3.
Gabarito: letra A — a conta chega a Cássia tem 2 moedas de R$ 1,00. Nenhuma alternativa corresponde, mas o cálculo correto é x = 2..
Este problema trata de combinações de moedas: com um conjunto de moedas, podemos formar vários valores somando algumas delas. O número de valores distintos que conseguimos formar depende de quantas moedas de cada valor temos e de como esses valores se combinam. Aqui, as moedas são de R$ 1,00 e R$ 0,50, então todos os valores formados são múltiplos de R$ 0,50.
Se temos x moedas de R$ 1,00 e y moedas de R$ 0,50, com x + y = 10, os valores possíveis são obtidos somando um múltiplo de R$ 0,50 (das moedas de 50 centavos) com um inteiro (das moedas de 1 real). Como as moedas de R$ 0,50 podem contribuir com 0, 0,50, 1,00, ..., 0,50·y, e as de R$ 1,00 com 0, 1, 2, ..., x, a soma cobre todos os múltiplos de R$ 0,50 de 0 até 0,50·y + x, sem buracos. Portanto, o número de valores distintos é y + 2x + 1.
O problema fornece o número de valores distintos (13) e pede o número de moedas de R$ 1,00. Vamos usar a relação entre x, y e o número de valores para montar uma equação e resolvê-la.
total de moedas = 10
valores das moedas: R$ 1,00 e R$ 0,50
número de valores diferentes que podem ser obtidos = 13
O que queremos: o número de moedas de R$ 1,00 que Cássia tem
Precisamos organizar o que sabemos: o total de moedas é 10, e queremos descobrir quantas são de R$ 1,00. Vamos chamar de x o número de moedas de R$ 1,00 e de y o número de moedas de R$ 0,50. Assim, x + y = 10.
De onde vem cada valor: = definição: número de moedas de R$ 1,00 · = definição: número de moedas de R$ 0,50
Confundir as variáveis: lembre que x é o que queremos, y é o complemento.
O enunciado diz que há 13 valores diferentes. Precisamos de uma fórmula que relacione esse número com x e y. Como as moedas de R$ 0,50 geram valores de 0 a 0,50·y em passos de 0,50, e as de R$ 1,00 geram valores inteiros de 0 a x, a soma cobre todos os múltiplos de 0,50 de 0 até 0,50·y + x. O número de múltiplos de 0,50 nesse intervalo é (0,50·y + x) / 0,50 + 1 = y + 2x + 1.
Por que esta fórmula: A fórmula vem do princípio de que, ao combinar os dois conjuntos de valores, não há buracos: para cada valor inteiro k de 0 a x, e cada múltiplo de 0,50 de 0 a 0,50·y, a soma percorre todos os múltiplos de 0,50 de 0 a 0,50·y + x. Portanto, o número de valores distintos é o número de múltiplos de 0,50 nesse intervalo.
De onde vem cada valor: = passo 1: número de moedas de R$ 0,50 · = passo 1: número de moedas de R$ 1,00
Esquecer o +1: o intervalo inclui o zero, então o número de valores é o último múltiplo dividido por 0,50 mais 1.
Sabemos que N = 13, então substituímos na fórmula do passo 2 para obter uma equação em x e y.
Por que esta fórmula: A equação vem diretamente da igualdade entre a fórmula e o valor fornecido.
De onde vem cada valor: = passo 2: fórmula do número de valores · = enunciado: número de valores diferentes
Trocar o sinal ao mover o 1 para o outro lado.
Temos duas equações com duas incógnitas: x + y = 10 e y + 2x + 1 = 13. Para resolver, isolamos y na primeira e substituímos na segunda.
Por que esta fórmula: Da equação x + y = 10, tiramos y = 10 - x. Isso reduz o problema a uma única incógnita.
De onde vem cada valor: = passo 1: total de moedas · = passo 1: número de moedas de R$ 1,00
Esquecer de substituir em todos os lugares onde y aparece.
Agora temos uma equação apenas com x. Vamos simplificar e isolar x.
Por que esta fórmula: Substituímos y na equação do passo 3 e resolvemos a equação linear resultante.
De onde vem cada valor: = passo 4: y · = passo 3: termo 2x · = passo 3: constante · = passo 3: valor dado
Errar a soma dos termos com x: 10 - x + 2x = 10 + x.
Precisamos do valor numérico de x. Vamos simplificar a equação e isolar x.
Por que esta fórmula: A equação é linear: 10 + x + 1 = 13, então 11 + x = 13, logo x = 2.
De onde vem cada valor: = passo 5: lado direito · = constante: 10 + 1
Fazer 13 - 10 = 3, esquecendo o +1.
Resposta: Cássia tem 2 moedas de R$ 1,00. Nenhuma alternativa corresponde, mas o cálculo correto é x = 2.
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