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Questão de Matemática — Expressões Aritméticas — FGV 2026

MatemáticaExpressões Aritméticas
Código
fg156233
Banca
FGV
Órgão
Pref SJC
Ano
2026
Cargo
Prof II ( )
A expressão 67−6693\dfrac{6^7-6^6}{9^3} é igual a
  1. A32.
  2. B64.
  3. C120.
  4. D240.
  5. E320.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoE — 320.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra E — a conta chega a 320 — alternativa E.

A ideia por trás

Potências são uma forma de escrever multiplicações repetidas: 6^7 significa 6 multiplicado por si mesmo 7 vezes. Quando temos uma subtração de potências com a mesma base, como 6^7 - 6^6, não podemos simplesmente subtrair os expoentes — isso é um erro comum. A técnica correta é fatorar, colocando a menor potência em evidência, porque 6^7 = 6^6 · 6.

A propriedade que usamos é a fatoração: a^m - a^n = a^n · (a^(m-n) - 1) quando m > n. No caso, 6^7 - 6^6 = 6^6 · (6 - 1) = 6^6 · 5. Além disso, potências de potências se multiplicam: (a^m)^n = a^(m·n), e potências de produtos se distribuem: (a·b)^n = a^n · b^n. Essas propriedades permitem reescrever a expressão de forma a simplificar.

Esta questão cobra exatamente essas propriedades: fatorar o numerador, reescrever o denominador como potência de base 3, e depois cancelar fatores comuns. O passo crítico é perceber que 6 = 2·3, o que permite o cancelamento.

O que a questão dá

  • numerador: 6^7 - 6^6

  • denominador: 9^3

O que queremos: o valor da expressão (6^7 - 6^6) / 9^3

Passo 1 — Fatorar o numerador colocando 6^6 em evidência

Para simplificar a fração, precisamos transformar a subtração de potências em um produto. Como 6^7 = 6^6 · 6, podemos colocar 6^6 em evidência: 6^7 - 6^6 = 6^6 · (6 - 1). Isso é análogo a fatorar uma expressão algébrica como x^2 - x = x(x - 1).

Por que esta fórmula: A propriedade da fatoração de potências de mesma base: a^m - a^n = a^n · (a^(m-n) - 1). Aqui, a = 6, m = 7, n = 6.

67−66=66⋅(6−1)6^{7} - 6^{6} = 6^{6} \cdot (6 - 1)

De onde vem cada valor: 676^{7} = enunciado: numerador · 666^{6} = enunciado: numerador · 66 = constante: 6

67−66=66⋅5=6 6⋅56^{7} - 6^{6} = 6^{6} \cdot 5 = \boxed{6\ ^{6} \cdot 5}
NÃO CAIA NESSA!

Subtrair os expoentes: 6^(7-6) = 6^1 = 6, o que está errado.

Passo 2 — Reescrever o denominador como potência de 3

O denominador é 9^3. Como 9 = 3^2, podemos escrever 9^3 = (3^2)^3 = 3^6. Isso é necessário para depois cancelar com o 3^6 que aparecerá no numerador.

Por que esta fórmula: Propriedade de potência de potência: (a^m)^n = a^(m·n).

9^3 = (3^2)^3 = 3^2 · 3 = 3^6

De onde vem cada valor: 99 = enunciado: denominador · 33 = constante: 3

93=36=3 69^{3} = 3^{6} = \boxed{3\ ^{6}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de multiplicar os expoentes: escrever 3^5 em vez de 3^6.

Passo 3 — Reescrever 6^6 como potência de 2 e 3

Para simplificar a fração, precisamos que o numerador e o denominador tenham bases comuns. Como 6 = 2·3, temos 6^6 = (2·3)^6 = 2^6 · 3^6. Isso permite cancelar o 3^6 com o denominador.

Por que esta fórmula: Propriedade de potência de produto: (a·b)^n = a^n · b^n.

66=(2⋅3)6=26⋅366^{6} = (2 \cdot 3)^{6} = 2^{6} \cdot 3^{6}

De onde vem cada valor: 66 = constante: 6

66=26⋅36=2 6⋅366^{6} = 2^{6} \cdot 3^{6} = \boxed{2\ ^{6} \cdot 3^{6}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de distribuir o expoente: escrever 2·3^6 em vez de 2^6·3^6.

Passo 4 — Substituir na expressão e cancelar 3^6

Agora temos a expressão original reescrita com fatores comuns. Substituímos o numerador fatorado e o denominador reescrito, e cancelamos o 3^6 que aparece em cima e embaixo, pois qualquer número dividido por ele mesmo é 1.

Por que esta fórmula: Simplificação de frações: se o mesmo fator aparece no numerador e no denominador, ele pode ser cancelado.

frac6^6 · 53^6 = frac2^6 · 3^6 · 53^6 = 2^6 · 5

De onde vem cada valor: 66⋅56^{6} \cdot 5 = passo 1 · 363^{6} = passo 2 · 26⋅362^{6} \cdot 3^{6} = passo 3

frac2^6 · 3^6 · 53^6 = 2^6 · 5 = 2\ ^6 · 5
NÃO CAIA NESSA!

Cancelar o 3^6 mas esquecer o fator 5, resultando em 64.

Passo 5 — Calcular 2^6 e multiplicar por 5

Resta apenas uma potência simples e uma multiplicação. 2^6 = 64, e 64 · 5 = 320. Esse é o valor final da expressão.

Por que esta fórmula: Definição de potência: 2^6 = 2·2·2·2·2·2 = 64.

26⋅5=64⋅52^{6} \cdot 5 = 64 \cdot 5

De onde vem cada valor: 262^{6} = passo 4 · 55 = passo 1

64⋅5=320=32064 \cdot 5 = 320 = \boxed{320}
NÃO CAIA NESSA!

Errar o cálculo de 2^6 (por exemplo, 2^6 = 32) ou esquecer de multiplicar por 5.

Resposta: 320 — alternativa E

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