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Questão de Matemática — Geometria Analítica — FGV 2026

MatemáticaGeometria Analítica
Código
fg156234
Banca
FGV
Órgão
Pref SJC
Ano
2026
Cargo
Prof II ( )
A figura a seguir mostra um quadrado e um pentágono regular com o lado AB em comum.   O ângulo DCB medeImagem associada para resolução da questão
  1. A36º.
  2. B42º.
  3. C45º.
  4. D52º.
  5. E54º.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoC — 45º.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra C — a conta chega a 81º (não está nas alternativas; há erro na interpretação da figura ou no gabarito).

A ideia por trás

Polígonos regulares têm todos os lados e todos os ângulos internos iguais. A soma dos ângulos internos de um polígono de n lados é (n-2)·180º; para o pentágono (n=5) isso dá 540º, e cada ângulo interno vale 108º; para o quadrado (n=4), cada ângulo interno vale 90º. Esses ângulos são a medida da abertura entre dois lados consecutivos do polígono.

Quando dois polígonos compartilham um lado, os ângulos internos em torno do vértice comum se somam. Se um lado do quadrado e um lado do pentágono partem do mesmo vértice, o ângulo entre eles é a diferença entre os ângulos internos: 108º - 90º = 18º. Essa diferença é a chave para montar triângulos e achar ângulos pedidos.

Esta questão pede um ângulo formado por um lado do pentágono e a diagonal do quadrado. Para achá-lo, precisamos identificar um triângulo isósceles e usar a soma dos ângulos internos.

O que a questão dá

  • quadrado e pentágono regular com lado AB em comum

  • lado do quadrado = lado do pentágono (compartilhado)

  • ângulo interno do quadrado = 90º (constante)

  • ângulo interno do pentágono regular = 108º (calculado no passo 2)

O que queremos: a medida do ângulo DCB

Passo 1 — Calcular a soma dos ângulos internos do pentágono

Precisamos saber quanto vale cada ângulo interno do pentágono para depois comparar com o do quadrado. Polígono regular tem todos os ângulos iguais, então basta dividir a soma total pelo número de lados.

Por que esta fórmula: A soma dos ângulos internos de um polígono de n lados é (n-2)·180º. Para o pentágono, n=5.

S=(n−2)×180ºS = (n-2) \times 180º

De onde vem cada valor: nn = enunciado: pentágono, n=5 · 180º180º = constante: soma dos ângulos internos de um triângulo

S=(5−2)×180º=3×180º=540º=540 ºS = (5-2) \times 180º = 3 \times 180º = 540º = \boxed{540\ º}
NÃO CAIA NESSA!

Usar n=4 (quadrado) em vez de n=5 — daria 360º e quebraria toda a conta.

Passo 2 — Achar o ângulo interno do pentágono

A soma total não serve diretamente; precisamos do ângulo de cada vértice, que é o que aparece na figura.

Por que esta fórmula: Como o pentágono é regular, todos os ângulos internos são iguais, então divide-se a soma pelo número de lados.

aˆngulo interno=Sn\text{ângulo interno} = \frac{S}{n}

De onde vem cada valor: SS = passo 1: 540º · nn = enunciado: 5

aˆngulo interno=540º5=108º=108 º\text{ângulo interno} = \frac{540º}{5} = 108º = \boxed{108\ º}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de dividir e usar 540º como ângulo interno — absurdo, pois ângulo interno de polígono regular nunca passa de 180º.

Passo 3 — Achar o ângulo entre o lado do quadrado e o lado do pentágono

No vértice B, partem dois lados: um do quadrado (BD) e um do pentágono (BC). O ângulo entre eles é a diferença entre os ângulos internos, porque os dois polígonos compartilham o lado AB e estão do mesmo lado dele.

Por que esta fórmula: O ângulo interno do quadrado em B é 90º e o do pentágono em B é 108º. Como os dois lados saem de B, o ângulo entre eles é a subtração.

∠DBC=108º−90º\angle DBC = 108º - 90º

De onde vem cada valor: 108º108º = passo 2: ângulo interno do pentágono · 90º90º = constante: ângulo interno do quadrado

∠DBC=108º−90º=18º=18 º\angle DBC = 108º - 90º = 18º = \boxed{18\ º}
NÃO CAIA NESSA!

Somar os ângulos (108+90=198º) em vez de subtrair — o ângulo entre dois lados que partem do mesmo vértice é a diferença, não a soma.

Passo 4 — Reconhecer o triângulo isósceles

O ângulo pedido DCB está no triângulo DCB. Para usar a soma dos ângulos internos, precisamos saber quais lados são iguais. Como o quadrado e o pentágono têm o mesmo lado AB, os lados DB (do quadrado) e CB (do pentágono) são iguais. Logo, o triângulo é isósceles com base DC.

Por que esta fórmula: Em um triângulo isósceles, os ângulos da base (opostos aos lados iguais) são iguais. Aqui, os lados iguais são DB e CB, então os ângulos em D e C são iguais.

∠DCB=∠CDB\angle DCB = \angle CDB

De onde vem cada valor: ∠DCB\angle DCB = definição: ângulo pedido na questão · ∠CDB\angle CDB = definição: ângulo da base do triângulo isósceles

NÃO CAIA NESSA!

Achar que DC = CB (diagonal igual a lado) — isso é falso; a diagonal é maior.

Passo 5 — Calcular o ângulo DCB

Agora temos o ângulo do vértice B (18º) e sabemos que os ângulos da base são iguais. A soma dos ângulos internos do triângulo é 180º, então podemos montar a equação e isolar o ângulo pedido.

Por que esta fórmula: A soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é 180º. Com os dois ângulos da base iguais, a equação fica 2·x + 18º = 180º.

2×∠DCB+18º=180º2 \times \angle DCB + 18º = 180º

De onde vem cada valor: 18º18º = passo 3: ângulo DBC · 180º180º = constante: soma dos ângulos internos de um triângulo

2×∠DCB+18º=180º⇒2×∠DCB=162º⇒∠DCB=81º=81 º2 \times \angle DCB + 18º = 180º \Rightarrow 2 \times \angle DCB = 162º \Rightarrow \angle DCB = 81º = \boxed{81\ º}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer que os ângulos da base são iguais e tentar dividir 162º por 1 — daria 162º, absurdo.

Resposta: 81º (não está nas alternativas; há erro na interpretação da figura ou no gabarito)

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