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Questão de Matemática — Números Inteiros (Propriedades, Operações, Módulo, etc) — FGV 2026

MatemáticaNúmeros Inteiros (Propriedades, Operações, Módulo, etc)
Código
fg156236
Banca
FGV
Órgão
Pref SJC
Ano
2026
Cargo
Prof II ( )
O desenho abaixo representa uma operação de adição entre quatro números naturais: A, AB, ABC e ABCD. Cada letra representa um algarismo, letras diferentes representam algarismos diferentes e A ≠ 0.AABABC+ABCD2026\begin{array}{cccccc} & & & & A \\ & & & A & B \\ & & A & B & C \\ + & A & B & C & D \\ \hline & 2 & 0 & 2 & 6 \\ \end{array}   O valor de B ‒ C + D ‒ A é:
  1. A9.
  2. B10.
  3. C11.
  4. D12.
  5. E13.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoB — 10.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra B — a conta chega a B − C + D − A = 8 − 2 + 5 − 1 = 10, alternativa B.

A ideia por trás

Criptaritmo é um quebra-cabeça em que letras escondem algarismos e a operação aritmética é a pista para descobri-los. Aqui, cada letra representa um dígito de 0 a 9, letras diferentes têm dígitos diferentes, e a primeira letra de cada número não pode ser zero. A soma montada em colunas é a chave: cada coluna soma os algarismos daquela posição e pode gerar um 'vai um' para a coluna da esquerda.

A soma coluna a coluna segue o algoritmo da adição: somam-se os algarismos da direita para a esquerda, e se o total passa de 9, o excesso vira um transporte (que só pode ser 0 ou 1, pois a soma máxima de quatro algarismos com transporte é 9+9+9+9+1 = 37). Cada coluna produz uma equação do tipo 'soma = dígito do resultado + 10 × transporte'. Resolver essas equações em cadeia, da direita para a esquerda, determina os valores das letras.

Esta questão cobra exatamente essa análise coluna a coluna: montar as equações com os transportes, testar as possibilidades e deduzir A, B, C e D. Depois é só substituir na expressão pedida.

O que a questão dá

  • soma: A + AB + ABC + ABCD = 2026 (resultado da adição mostrada no desenho)

  • cada letra é um algarismo diferente

  • A ≠ 0

O que queremos: o valor de B − C + D − A

Passo 1 — Montar a soma coluna a coluna

A adição é feita da direita para a esquerda, então precisamos organizar as colunas para aplicar o algoritmo. Cada coluna soma os algarismos da mesma posição e pode gerar um transporte para a próxima.

NÃO CAIA NESSA!

Alinhar errado os números, colocando o A da primeira parcela na coluna das unidades em vez de na casa certa.

Passo 2 — Analisar a coluna das unidades

Começamos pela direita porque é onde não há transporte vindo de fora. A soma dos algarismos das unidades é A + B + C + D, e o resultado escrito é 6, mas pode haver um transporte v1 para a coluna das dezenas.

Por que esta fórmula: A soma de uma coluna é o dígito do resultado mais 10 vezes o transporte. Como o resultado é 6, a soma pode ser 6 (v1=0) ou 16 (v1=1).

A+B+C+D=6+10⋅v1A + B + C + D = 6 + 10 \cdot v_1

De onde vem cada valor: A,B,C,DA, B, C, D = enunciado: letras que representam algarismos · 66 = enunciado: dígito das unidades do resultado 2026 · v1v_1 = definição: transporte da coluna das unidades, 0 ou 1

v1=0 ou1v1 = \boxed{0\ \text{ou} 1}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer que a soma pode passar de 9 e gerar transporte.

Passo 3 — Analisar a coluna das dezenas

Agora entram os algarismos das dezenas: B, C e D, mais o transporte v1 vindo da coluna das unidades. O resultado é 2, então a soma pode ser 2, 12 ou 22, gerando transporte v2.

Por que esta fórmula: Mesma lógica: soma = dígito + 10 × transporte. Como o dígito é 2, a soma pode ser 2 (v2=0), 12 (v2=1) ou 22 (v2=2).

B+C+D+v1=2+10⋅v2B + C + D + v_1 = 2 + 10 \cdot v_2

De onde vem cada valor: B,C,DB, C, D = enunciado: letras · v1v_1 = passo 2 · 22 = enunciado: dígito das dezenas do resultado · v2v_2 = definição: transporte da coluna das dezenas, 0, 1 ou 2

v2=0 ,1ou2v2 = \boxed{0\ , 1 \text{ou} 2}
NÃO CAIA NESSA!

Achar que v2 só pode ser 0 ou 1, mas a soma máxima é 28, então 22 é possível.

Passo 4 — Analisar a coluna das centenas

A coluna das centenas soma C e D, mais o transporte v2. O resultado é 0, então a soma pode ser 0 (v3=0) ou 10 (v3=1).

Por que esta fórmula: Soma = dígito + 10 × transporte. Com dígito 0, as possibilidades são 0 ou 10.

C+D+v2=0+10⋅v3C + D + v_2 = 0 + 10 \cdot v_3

De onde vem cada valor: C,DC, D = enunciado: letras · v2v_2 = passo 3 · 00 = enunciado: dígito das centenas do resultado · v3v_3 = definição: transporte da coluna das centenas, 0 ou 1

v3=0 ou1v3 = \boxed{0\ \text{ou} 1}
NÃO CAIA NESSA!

Não considerar que a soma pode ser 10, gerando transporte.

Passo 5 — Analisar a coluna dos milhares

A coluna dos milhares tem apenas D e o transporte v3. O resultado é 2, então D + v3 = 2. Como D é algarismo e v3 é 0 ou 1, as possibilidades são D=2, v3=0 ou D=1, v3=1.

Por que esta fórmula: Equação direta da coluna: soma = dígito + 10 × transporte, mas como não há transporte além, fica D + v3 = 2.

D+v3=2D + v_3 = 2

De onde vem cada valor: DD = enunciado: letra · v3v_3 = passo 4 · 22 = enunciado: dígito dos milhares do resultado

D = 2 e v3 = 0, ou D = 1 e v3 = 1

NÃO CAIA NESSA!

Esquecer que v3 pode ser 1, o que muda o valor de D.

Passo 6 — Testar a hipótese v3 = 1

Se v3 = 1, então D = 1. Substituímos na coluna das centenas: C + 1 + v2 = 10, logo C + v2 = 9. Na coluna das dezenas: B + C + 1 + v1 = 2 + 10·v2. Testamos as possibilidades para v2.

Por que esta fórmula: Substituição direta nas equações dos passos anteriores.

v2 = 1, C = 8, B = 2? (vamos ver)

NÃO CAIA NESSA!

Não testar todas as combinações de v1 e v2.

Passo 7 — Resolver o sistema de equações

Com v3 = 1 e D = 1, temos C + v2 = 9. Se v2 = 0, então C = 9, mas na coluna das dezenas B + 9 + 1 + v1 = 2, o que daria B + v1 = -8, impossível. Então v2 = 1, logo C = 8. Na coluna das dezenas: B + 8 + 1 + v1 = 12, então B + v1 = 3. Como v1 é 0 ou 1, temos B = 3 e v1 = 0, ou B = 2 e v1 = 1. Testamos na coluna das unidades: A + B + C + D = A + B + 8 + 1 = A + B + 9. Se v1 = 0, a soma é 6, então A + B = -3, impossível. Logo v1 = 1, B = 2, e A + 2 + 9 = 16, então A = 5. Mas A ≠ 0 e A é algarismo, então A = 5. Verificamos: A = 5, B = 2, C = 8, D = 1. Mas isso dá soma 5 + 52 + 528 + 5281 = 5866, não 2026. Então essa hipótese falha.

Por que esta fórmula: Substituição e verificação.

Hipoˊtesev3=1 falhaHipótese v3 = \boxed{1\ \text{falha}}
NÃO CAIA NESSA!

Não verificar se a soma final confere.

Passo 8 — Testar a hipótese v3 = 0

Se v3 = 0, então D = 2. Na coluna das centenas: C + 2 + v2 = 0, o que só é possível se C = 0 e v2 = 0, ou C = 8 e v2 = 0? Na verdade, C + 2 + v2 = 0 ou 10. Se for 0, C + v2 = -2, impossível. Então C + 2 + v2 = 10, logo C + v2 = 8. Na coluna das dezenas: B + C + 2 + v1 = 2 + 10·v2. Testamos v2 = 0: então C = 8, e B + 8 + 2 + v1 = 2, impossível. v2 = 1: então C = 7, e B + 7 + 2 + v1 = 12, logo B + v1 = 3. Na coluna das unidades: A + B + 7 + 2 = A + B + 9 = 6 + 10·v1. Se v1 = 0, A + B = -3, impossível. v1 = 1, A + B = 7. Com B + v1 = 3, se v1 = 1, B = 2, então A = 5. Verificamos: A = 5, B = 2, C = 7, D = 2? Mas D = 2 e C = 7, letras diferentes, ok. Soma: 5 + 52 + 527 + 5272 = 5856, não 2026. Então v2 = 1 não funciona. v2 = 2? Mas v2 máximo é 2, e na coluna das centenas C + 2 + 2 = 10, logo C = 6. Na coluna das dezenas: B + 6 + 2 + v1 = 22, logo B + v1 = 14, impossível pois B ≤ 9. Então v3 = 0 também falha? Mas o gabarito diz que há solução. Vamos reavaliar: talvez a soma não seja 2026? O enunciado mostra 2026, então deve haver solução. Talvez eu tenha errado na análise. Vamos tentar outra abordagem: usar a equação algébrica 1111A + 111B + 11C + D = 2026. Como A é algarismo de 1 a 9, e 1111A ≤ 9999, mas 2026/1111 ≈ 1,82, então A = 1. Substituindo: 1111 + 111B + 11C + D = 2026, logo 111B + 11C + D = 915. Como B é algarismo, 111B ≤ 999, então B pode ser 8 (888) ou 9 (999). Se B = 9, 999 + 11C + D = 915, impossível. Então B = 8, 888 + 11C + D = 915, logo 11C + D = 27. Como D é algarismo, 11C ≤ 99, então C pode ser 2 (22) ou 1 (11). Se C = 2, 22 + D = 27, D = 5. Se C = 1, 11 + D = 27, D = 16, impossível. Então A = 1, B = 8, C = 2, D = 5. Verificamos: 1 + 18 + 182 + 1825 = 2026. Perfeito. Então a solução é A=1, B=8, C=2, D=5. A expressão pedida: B − C + D − A = 8 − 2 + 5 − 1 = 10. Alternativa B.

Por que esta fórmula: A equação algébrica é mais direta: escrevemos cada número como soma de potências de 10 e agrupamos.

1111A+111B+11C+D=20261111A + 111B + 11C + D = 2026

De onde vem cada valor: AA = enunciado: algarismo das unidades da primeira parcela, também nas outras · BB = enunciado: algarismo das dezenas · CC = enunciado: algarismo das centenas · DD = enunciado: algarismo dos milhares · 20262026 = enunciado: resultado da soma

1111⋅1+111⋅8+11⋅2+5=20261111 \cdot 1 + 111 \cdot 8 + 11 \cdot 2 + 5 = 2026

A = 1, B = 8, C = 2, D = 5

NÃO CAIA NESSA!

Tentar resolver só por tentativa sem usar a equação algébrica.

Resposta: B − C + D − A = 8 − 2 + 5 − 1 = 10, alternativa B

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