Questão de Matemática — Funções reais de variável real (cálculo diferencial e integral) — FGV 2026

Limites de funções racionais

Gabarito: letra A. O limite vale $\lim_{x \to 1} \dfrac{x^3-x^2-4x+4}{-x^2+4x-3} = -\dfrac{3}{2}$. A substituição direta de $x=1$ gera a indeterminação $\frac{0}{0}$, então fatoramos numerador e denominador, cancelamos o fator comum $(x-1)$ e aplicamos o limite na expressão simplificada.

O cálculo de limites é um dos pilares do Cálculo Diferencial e Integral. Quando temos uma função racional (quociente de dois polinômios) e a substituição direta do ponto nos leva a uma indeterminação do tipo $\frac{0}{0}$, isso significa que tanto o numerador quanto o denominador se anulam naquele ponto. A estratégia clássica é fatorar ambos os polinômios para identificar e cancelar o fator comum que causa a indeterminação.

No numerador, $x^3-x^2-4x+4$, podemos fatorar por agrupamento:

No denominador, $-x^2+4x-3$, podemos reescrever como $-(x^2-4x+3)$ e fatorar o trinômio:

Assim, a função original se torna:

Como $x \to 1$ mas $x \neq 1$, podemos cancelar o fator $(x-1)$:

Agora, aplicando o limite com $x=1$:

Portanto, o limite é $-\dfrac{3}{2}$.

A pegadinha desta questão é justamente a indeterminação $\frac{0}{0}$: o candidato que tenta substituir diretamente $x=1$ encontra $\frac{0}{0}$ e pode concluir erroneamente que o limite não existe ou que precisa usar a regra de L'Hôpital. A fatoração é o caminho mais direto e evita complicações desnecessárias.

Guarde o critério decisivo: sempre que a substituição direta gerar $\frac{0}{0}$, fatore e cancele o fator comum antes de aplicar o limite. É exatamente isso que separa as alternativas.

Alternativa A — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Após fatorar e cancelar o fator comum $(x-1)$, o limite da expressão simplificada $\dfrac{(x-2)(x+2)}{-(x-3)}$ quando $x \to 1$ é $\dfrac{-3}{2}$. O cálculo passo a passo confirma o valor.

Alternativa B — ❌ Incorreta

O valor $-\dfrac{1}{2}$ não corresponde ao limite calculado. Esse distrator pode surgir de um erro de sinal ao fatorar o denominador ou ao aplicar o limite na expressão simplificada.

Alternativa C — ❌ Incorreta

O valor $-\dfrac{1}{3}$ não é o limite. Esse número poderia aparecer se o candidato cancelasse incorretamente os fatores ou errasse a aritmética final.

Alternativa D — ❌ Incorreta

O valor $\dfrac{1}{3}$ tem o módulo correto, mas o sinal errado. A banca explora a troca de sinal: o denominador original tem coeficiente negativo em $x^2$, o que inverte o sinal do resultado.

Alternativa E — ❌ Incorreta

O valor $\dfrac{2}{3}$ não é o limite. Esse distrator pode resultar de uma fatoração incorreta do numerador ou de um erro ao substituir os valores na expressão simplificada.

Gabarito: letra A