GabaritoA — 49.
Gabarito: letra A — a conta chega a 49 — alternativa A.
A distância de um ponto a uma reta é o comprimento do segmento perpendicular que liga o ponto à reta. No espaço, essa distância é a menor distância entre o ponto e qualquer ponto da reta, e pode ser vista como a altura de um triângulo formado pelo ponto e dois pontos da reta.
Em um triângulo retângulo, a altura relativa à hipotenusa pode ser calculada pela relação métrica: o produto dos catetos é igual ao produto da hipotenusa pela altura. Ou seja, se os catetos são b e c, a hipotenusa é a, e a altura relativa à hipotenusa é h, então b × c = a × h. Essa relação vem da área do triângulo: a área é (b × c)/2 e também (a × h)/2, então igualando as duas expressões obtemos a relação.
Esta questão cobra exatamente essa relação métrica: identificar que o triângulo AEC é retângulo e que a distância pedida é a altura relativa à hipotenusa EC. O desafio é reconhecer o triângulo retângulo dentro do cubo e aplicar a relação corretamente.
aresta do cubo = 60
√2 = 1,41
√3 = 1,73
√6 = 2,45
O que queremos: a distância do vértice A à reta EC
Para calcular a distância de A à reta EC, precisamos visualizar o triângulo formado por A, E e C. A distância procurada é a altura desse triângulo relativa ao lado EC. Primeiro, vamos determinar as medidas dos lados desse triângulo.
Por que esta fórmula: Não há fórmula ainda; apenas identificamos as medidas: AE é uma aresta do cubo, AC é a diagonal de uma face, e EC é a diagonal do cubo. Essas medidas são conhecidas: aresta = 60, diagonal da face = 60√2, diagonal do cubo = 60√3.
AE = 60, AC = 60√2, EC = 60√3
Confundir AC com a diagonal do cubo ou EC com a diagonal da face. Lembre: AC está na face ABCD, EC vai de um vértice ao oposto do cubo.
A relação métrica que vamos usar só vale para triângulos retângulos. Precisamos verificar que o triângulo AEC é retângulo em A, ou seja, que AE é perpendicular a AC. Como AE é uma aresta vertical e AC está na face horizontal ABCD, eles são perpendiculares.
Por que esta fórmula: Não há fórmula; é uma justificativa geométrica. A perpendicularidade entre AE e AC garante que o triângulo é retângulo em A, e portanto EC é a hipotenusa.
Achar que o triângulo não é retângulo porque está inclinado no espaço. A perpendicularidade entre aresta e diagonal da face é o que importa.
A distância de A à reta EC é exatamente a altura do triângulo relativa à hipotenusa EC. No triângulo retângulo, essa altura h satisfaz: cateto1 × cateto2 = hipotenusa × h. Aqui, os catetos são AE e AC, e a hipotenusa é EC.
Por que esta fórmula: A relação AE × AC = EC × h vem da área do triângulo: a área é (AE × AC)/2 e também (EC × h)/2. Igualando as duas, obtemos a relação. É a forma mais direta de achar a altura.
De onde vem cada valor: = passo 1: 60 · = passo 1: 60√2 · = passo 1: 60√3
Esquecer de multiplicar os catetos ou inverter a relação, colocando h no lugar errado.
A questão pede o valor aproximado, então precisamos substituir √6 pelo valor dado. O resultado 20√6 é exato, mas a alternativa pede o número aproximado.
Por que esta fórmula: Basta substituir √6 = 2,45 na expressão h = 20√6.
De onde vem cada valor: = passo 3: resultado da divisão · = enunciado: √6 = 2,45
Usar √6 = 2,44 ou arredondar errado; o valor exato é 2,45.
Resposta: 49 — alternativa A
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