Questão de Matemática — Polígonos Inscritos e Circunscritos à Circunferência — FGV 2026

Geometria Plana: Triângulo Inscrito em Circunferência

Gabarito: letra D. A área do triângulo ABC é $\frac{5\sqrt{39}}{2}$. Como AB é diâmetro, o triângulo ABC é retângulo em C (ângulo inscrito em semicircunferência). Com AB = 8 (diâmetro) e AC = 5, calculamos BC pela relação de Pitágoras e a área como metade do produto dos catetos.

O ponto central desta questão é reconhecer que, quando um triângulo está inscrito em uma circunferência e um de seus lados é o diâmetro, esse triângulo é retângulo. Isso decorre do teorema do ângulo inscrito: o ângulo com vértice na circunferência que subtende um diâmetro (arco de 180°) mede 90°. Portanto, o triângulo ABC tem ângulo reto no vértice C, e os lados AC e BC são os catetos, enquanto AB é a hipotenusa.

O diâmetro AB mede o dobro do raio: $AB = 2 \times 4 = 8$. Com AC = 5 e AB = 8, aplicamos o Teorema de Pitágoras para encontrar o outro cateto BC:

A área de um triângulo retângulo é metade do produto dos catetos:

A pegadinha desta questão está em não perceber que o triângulo é retângulo. O candidato pode tentar usar a fórmula de Heron ou a lei dos cossenos, complicando a resolução. A chave é identificar o diâmetro como hipotenusa e aplicar diretamente o Teorema de Pitágoras.

Guarde esta relação: todo triângulo inscrito em uma semicircunferência é retângulo. Essa propriedade é a base para resolver rapidamente problemas que envolvem triângulos inscritos em círculos.

Alternativa A — ❌ Incorreta

O valor 6 não corresponde a nenhum cálculo direto com os dados. Se o aluno assumisse erroneamente que a área é $\frac{8 \times 5}{2} = 20$, ou que a altura é 3, poderia chegar a 6, mas não há base geométrica para isso. O triângulo é retângulo, e a área correta envolve a raiz de 39.

Alternativa B — ❌ Incorreta

O valor 20 seria obtido se o aluno calculasse $\frac{8 \times 5}{2}$, tratando AB e AC como catetos. Porém, AB é a hipotenusa (diâmetro), não um cateto. O erro está em não identificar o ângulo reto em C e usar os lados errados como catetos.

Alternativa C — ❌ Incorreta

$5\sqrt{3}$ seria o resultado se BC fosse $2\sqrt{3}$, o que não ocorre. Esse valor poderia surgir de uma aplicação incorreta de relações trigonométricas em um triângulo que não é retângulo, ou de uma confusão com as relações de um triângulo equilátero. O cálculo correto de BC é $\sqrt{39}$.

Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Como AB é diâmetro, o triângulo ABC é retângulo em C. Com AB = 8 e AC = 5, temos BC = $\sqrt{39}$. A área é $\frac{5 \times \sqrt{39}}{2} = \frac{5\sqrt{39}}{2}$, exatamente o valor da alternativa.

Alternativa E — ❌ Incorreta

$5\sqrt{41}$ seria o resultado se BC fosse $\sqrt{41}$, o que implicaria $BC^2 = 41$. Porém, $BC^2 = 8^2 - 5^2 = 39$, não 41. Esse valor poderia surgir de um erro de sinal na subtração (64 + 25 = 89, ou 64 - 25 = 39, mas 41 não aparece).

Gabarito: letra D