GabaritoE — 9π/2.
Gabarito: letra E — a conta chega a 9π/2 — alternativa E.
Uma equação trigonométrica é uma igualdade que envolve funções como seno, cosseno e tangente, e suas soluções são os ângulos que a satisfazem. No ciclo trigonométrico, cada ângulo tem um seno e um cosseno que são as coordenadas do ponto na circunferência de raio 1. Resolver a equação significa achar todos os ângulos do intervalo que tornam a igualdade verdadeira.
A relação fundamental é sen²(x) + cos²(x) = 1, mas aqui não precisamos dela diretamente. O que importa é que, quando temos um produto de fatores igual a zero, pelo menos um dos fatores deve ser zero. Além disso, a tangente é definida como sen(x)/cos(x), e ela vale -1 quando o seno é o oposto do cosseno, o que acontece em ângulos específicos do ciclo.
Esta questão cobra a fatoração de uma expressão trigonométrica e a análise de cada fator separadamente. O passo crucial é não dividir por cos(x) sem antes considerar o caso em que ele é zero, pois isso eliminaria raízes válidas.
equação: cos²(x) + sen(x)cos(x) = 0
intervalo: 0 ≤ x ≤ 2π
O que queremos: a soma das raízes da equação no intervalo dado
A equação tem dois termos com cos(x) em comum. Fatorar transforma a soma em um produto, e um produto é zero quando qualquer um dos fatores é zero — isso divide o problema em casos mais simples.
Por que esta fórmula: A propriedade distributiva permite colocar cos(x) em evidência: cos²(x) + sen(x)cos(x) = cos(x)[cos(x) + sen(x)].
De onde vem cada valor: = enunciado: termo comum · = enunciado: termo do segundo fator
cos(x) = 0 ou cos(x) + sen(x) = 0
Não fatorar e tentar resolver como equação linear, perdendo a estrutura de produto.
O primeiro fator é zero quando o cosseno é zero. No ciclo trigonométrico, isso ocorre nos ângulos de 90° e 270°, que em radianos são π/2 e 3π/2.
Por que esta fórmula: No círculo unitário, o cosseno é a coordenada x do ponto. Ele é zero quando o ponto está sobre o eixo y, ou seja, nos ângulos π/2 e 3π/2.
De onde vem cada valor: = definição: ângulo onde cos = 0 · = definição: ângulo onde cos = 0
x = π/2 e x = 3π/2
Esquecer o ângulo 3π/2, achando que só existe π/2.
O segundo fator é zero quando sen(x) = -cos(x). Para resolver, dividimos por cos(x), mas isso só é válido se cos(x) ≠ 0 — e já vimos que os casos com cos(x) = 0 foram tratados no passo anterior. Então podemos dividir com segurança.
Por que esta fórmula: Dividindo ambos os lados por cos(x), obtemos tan(x) = -1, pois tan(x) = sen(x)/cos(x). A tangente é -1 nos ângulos de 135° e 315°, que em radianos são 3π/4 e 7π/4.
De onde vem cada valor: = definição: sen(x)/cos(x)
x = 3π/4 e x = 7π/4
Confundir com tan(x) = 1, que ocorre em π/4 e 5π/4.
Já temos todas as raízes: π/2, 3π/2, 3π/4 e 7π/4. Agora basta somá-las. Para somar frações com denominadores diferentes, colocamos todas com o mesmo denominador, que é 4.
Por que esta fórmula: A soma de frações exige denominador comum. Convertemos π/2 = 2π/4 e 3π/2 = 6π/4, depois somamos os numeradores.
De onde vem cada valor: = passo 2 · = passo 2 · = passo 3 · = passo 3 · = constante: π/2 = 2π/4 · = constante: 3π/2 = 6π/4
Somar apenas duas raízes ou esquecer de converter para o mesmo denominador.
Resposta: 9π/2 — alternativa E
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