GabaritoA — 6.
Gabarito: letra A — a conta chega a a² + b² + c² = 6 — alternativa A.
Um sistema linear é um conjunto de equações que precisam ser verdadeiras ao mesmo tempo. A solução é a tripla de números que, substituída em todas as equações, faz cada uma delas virar uma igualdade verdadeira. Aqui temos três equações e três incógnitas, então esperamos uma solução única.
Para resolver, podemos combinar as equações: subtrair uma da outra elimina uma incógnita e reduz o sistema a um menor. O método da adição (ou eliminação) funciona porque, se duas equações são verdadeiras, a diferença entre elas também é. Cada subtração bem-feita nos aproxima de uma equação com uma só incógnita.
Esta questão pede para resolver o sistema e depois calcular a soma dos quadrados da solução. O caminho é eliminar x primeiro, depois resolver o sistema 2x2, e por fim substituir de volta.
sistema: x + y + z = 2
sistema: x + 3y + 9z = 16
sistema: x + 5y + 25z = 46
O que queremos: o valor de a² + b² + c², onde (a, b, c) é a solução do sistema
As três equações têm o mesmo coeficiente de x (1). Subtrair a primeira das outras duas faz o x sumir, porque 1x - 1x = 0. Isso reduz o problema de três equações para duas, com apenas y e z.
Por que esta fórmula: Subtração de equações: (equação 2) - (equação 1) = (lado direito 2) - (lado direito 1). Isso é válido porque estamos subtraindo quantidades iguais dos dois lados.
De onde vem cada valor: = enunciado: segunda equação · = enunciado: primeira equação · = enunciado: lado direito da segunda · = enunciado: lado direito da primeira
Errar o sinal ao subtrair: por exemplo, escrever 2y + 8z = 12 em vez de 14. Confira sempre a conta do lado direito.
Precisamos de outra equação sem x para formar um sistema 2x2. A terceira equação também tem coeficiente 1 em x, então subtraímos a primeira dela.
Por que esta fórmula: Mesma lógica do passo anterior: subtrair equações para cancelar x.
De onde vem cada valor: = enunciado: terceira equação · = enunciado: primeira equação · = enunciado: lado direito da terceira · = enunciado: lado direito da primeira
Esquecer de dividir toda a equação por 4: 4y + 24z = 44 fica y + 6z = 11, não y + 6z = 44.
Agora temos duas equações com as mesmas incógnitas y e z. Subtrair uma da outra elimina y, porque ambas têm coeficiente 1 em y, e sobra uma equação só com z.
Por que esta fórmula: Subtração de equações: (y + 6z) - (y + 4z) = 11 - 7. O y cancela, deixando 2z = 4.
De onde vem cada valor: = passo 2: y + 6z = 11 · = passo 1: y + 4z = 7 · = passo 2: lado direito · = passo 1: lado direito
Subtrair na ordem errada e obter -2z = -4, o que ainda dá z = 2, mas confunde. Mantenha a ordem consistente.
Com z = 2, uma das equações reduzidas vira uma equação só com y. Substituir o valor conhecido é o caminho para isolar y.
Por que esta fórmula: Substituição direta: em y + 4z = 7, trocamos z por 2 e resolvemos para y.
De onde vem cada valor: = passo 1: y + 4z = 7 · = passo 3: z = 2
Esquecer de subtrair 8 dos dois lados: y = 7 - 8 = -1, não y = 7 + 8.
Já temos y e z; falta x. Usamos a primeira equação original, que contém as três incógnitas, e substituímos os valores conhecidos.
Por que esta fórmula: Substituição na equação original: x + y + z = 2, com y = -1 e z = 2.
De onde vem cada valor: = enunciado: primeira equação · = passo 4: y = -1 · = passo 3: z = 2
Errar o sinal de y: se usar y = 1, obtém x = 0, que não satisfaz as outras equações.
A questão não pede a solução em si, mas a soma dos quadrados das coordenadas. Com a solução (1, -1, 2), basta elevar cada valor ao quadrado e somar.
Por que esta fórmula: a² + b² + c² é a definição de soma dos quadrados; aqui a = x, b = y, c = z.
De onde vem cada valor: = passo 5: x = 1 · = passo 4: y = -1 · = passo 3: z = 2
Esquecer que (-1)² = 1, não -1. Isso daria 1 - 1 + 4 = 4, que não está nas alternativas.
Resposta: a² + b² + c² = 6 — alternativa A
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