Questão de Raciocínio Lógico — Orientação no Plano, no Espaço e no Tempo — FGV 2026

Orientação no plano: coloração de matriz e diagonais

Gabarito: letra B. As bolas das duas diagonais terão a mesma cor quando, e apenas quando, n for ímpar. Isso ocorre porque, em uma matriz n×n, a diagonal principal e a diagonal secundária se cruzam em um único compartimento central quando n é ímpar; quando n é par, elas não se cruzam, e a alternância de cores imposta pela regra de adjacência força as diagonais a terem cores opostas.

O problema descreve uma matriz quadrada n×n onde cada compartimento recebe uma bola branca ou preta, com a restrição de que compartimentos adjacentes (na mesma linha ou coluna) devem ter cores diferentes. Isso significa que a coloração da matriz segue um padrão de tabuleiro de xadrez: cada célula tem cor oposta às suas vizinhas ortogonais. A pergunta é sobre a relação entre as cores das duas diagonais principais.

Vamos entender a estrutura. Na diagonal principal, os elementos são aqueles onde o índice da linha é igual ao índice da coluna (i = j). Na diagonal secundária, os elementos são aqueles onde a soma dos índices é constante (i + j = n + 1). A cor de cada célula pode ser determinada pela paridade da soma dos seus índices: se i + j for par, a célula tem uma cor; se for ímpar, tem a outra. Isso porque, ao mover uma célula para uma vizinha (aumentando ou diminuindo i ou j em 1), a paridade da soma muda, garantindo a alternância.

Para a diagonal principal, temos i = j, então a soma é 2i, que é sempre par. Portanto, todas as células da diagonal principal têm a mesma cor (a cor associada à paridade par). Para a diagonal secundária, temos i + j = n + 1. A paridade dessa soma depende de n + 1. Se n for ímpar, n + 1 é par, então todas as células da diagonal secundária também têm a cor associada à paridade par, que é a mesma da diagonal principal. Se n for par, n + 1 é ímpar, então todas as células da diagonal secundária têm a cor associada à paridade ímpar, que é oposta à da diagonal principal.

Portanto, as diagonais terão a mesma cor exatamente quando n for ímpar. Vamos verificar com exemplos concretos. Para n = 3 (ímpar), a matriz pode ser colorida como:

| B | P | B | | P | B | P | | B | P | B |

A diagonal principal (1,1), (2,2), (3,3) é B, B, B. A diagonal secundária (1,3), (2,2), (3,1) é B, B, B. Ambas são brancas. Para n = 4 (par), uma coloração possível é:

| B | P | B | P | | P | B | P | B | | B | P | B | P | | P | B | P | B |

A diagonal principal é B, B, B, B. A diagonal secundária é P, P, P, P. São opostas.

A pegadinha da questão está em associar a condição a outras propriedades dos números, como paridade, primalidade ou quadrado perfeito. A resposta correta é a paridade ímpar, não qualquer outra classificação.

Alternativa A — ❌ Incorreta

Afirma que as diagonais terão a mesma cor quando n for par. Isso é falso, pois quando n é par, a soma i + j na diagonal secundária é ímpar, resultando em cor oposta à da diagonal principal. O exemplo com n = 4 mostra claramente a oposição.

Alternativa B — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Correta. Quando n é ímpar, a soma i + j na diagonal secundária é par, mesma paridade da diagonal principal, garantindo que todas as bolas das duas diagonais tenham a mesma cor. A condição é exatamente n ímpar.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Afirma que a condição é n ser primo. Isso não é verdade, pois números primos podem ser pares (apenas o 2) ou ímpares. Para n = 2 (primo e par), as diagonais têm cores opostas. Para n = 3 (primo e ímpar), têm a mesma cor. A primalidade não é o critério.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Afirma que a condição é n > 2. Isso é falso, pois para n = 3 (maior que 2) as diagonais têm a mesma cor, mas para n = 4 (também maior que 2) têm cores opostas. A condição não depende apenas de n ser maior que 2.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Afirma que a condição é n ser quadrado perfeito. Isso é falso, pois quadrados perfeitos podem ser pares (4, 16) ou ímpares (9, 25). Para n = 4 (quadrado perfeito par), as diagonais são opostas; para n = 9 (quadrado perfeito ímpar), são iguais. A condição é a paridade, não a quadratura.

Gabarito: letra B