Questão de Raciocínio Lógico — Sequências de Números, Figuras, Letras e Palavras — FGV 2026

Sequências numéricas: recorrência e periodicidade

Gabarito: letra C. O 2025º termo é −1. A sequência definida por recorrência ($a_n = a_{n-1} - a_{n-2}$) com $a_1 = 5$ e $a_2 = 4$ gera um ciclo de 6 termos que se repete indefinidamente: 5, 4, −1, −5, −4, 1. Como 2025 dividido por 6 deixa resto 3, o termo procurado é o 3º do ciclo, ou seja, −1.

Uma sequência é uma lista de números em uma ordem definida, e cada termo pode ser obtido por uma lei de formação. Quando a lei depende dos termos anteriores, chamamos de fórmula de recorrência — o exemplo clássico é a sequência de Fibonacci, em que cada termo é a soma dos dois anteriores. Nesta questão, a recorrência é por subtração: cada termo (a partir do 3º) é a diferença entre o termo imediatamente anterior e o anterior a ele.

Vamos calcular os primeiros termos para enxergar o padrão:

• $a_1 = 5$

• $a_2 = 4$

• $a_3 = a_2 - a_1 = 4 - 5 = -1$

• $a_4 = a_3 - a_2 = -1 - 4 = -5$

• $a_5 = a_4 - a_3 = -5 - (-1) = -4$

• $a_6 = a_5 - a_4 = -4 - (-5) = 1$

• $a_7 = a_6 - a_5 = 1 - (-4) = 5$

• $a_8 = a_7 - a_6 = 5 - 1 = 4$

Observe que $a_7 = 5 = a_1$ e $a_8 = 4 = a_2$. Como a recorrência depende apenas dos dois termos anteriores, quando eles se repetem, toda a sequência se repete. Portanto, a sequência é periódica com período 6: 5, 4, −1, −5, −4, 1, 5, 4, −1, ...

A chave da questão é reduzir a posição pedida ao ciclo. Dividimos 2025 por 6:

O resto 3 indica que o 2025º termo ocupa a mesma posição que o 3º termo do ciclo. O 3º termo é −1. Portanto, o 2025º termo é −1.

A pegadinha clássica da banca é o candidato calcular alguns termos, perceber a repetição, mas errar na correspondência entre o resto da divisão e a posição no ciclo. É preciso lembrar que o resto 1 corresponde ao 1º termo, resto 2 ao 2º, e assim por diante — e que o resto 0 corresponde ao último termo do ciclo (o 6º). Aqui, o resto 3 aponta diretamente para o 3º termo, −1.

Guarde o método: identifique o período, divida a posição pelo período e use o resto para localizar o termo no ciclo. É exatamente esse raciocínio que separa as alternativas.

Alternativa A — ❌ Incorreta

O valor −5 é o 4º termo do ciclo, não o 3º. O candidato que erra a divisão (por exemplo, considerando resto 4) ou que confunde a ordem dos termos chega a −5. A posição correta do −5 é quando o resto da divisão por 6 é 4.

Alternativa B — ❌ Incorreta

O valor −4 é o 5º termo do ciclo. Quem erra a conta da divisão ou a localização no ciclo pode chegar a esse valor. A posição correta do −4 é quando o resto da divisão por 6 é 5.

Alternativa C — ✅ Correta ⟵ GABARITO

O valor −1 é o 3º termo do ciclo (5, 4, −1, −5, −4, 1). Como 2025 dividido por 6 deixa resto 3, o 2025º termo é exatamente o 3º termo do ciclo, ou seja, −1. A conta $2025 = 6 \times 337 + 3$ confirma a posição.

Alternativa D — ❌ Incorreta

O valor 1 é o 6º termo do ciclo. Ele apareceria se o resto da divisão por 6 fosse 0 (posições múltiplas de 6, como 6, 12, 18...). Como 2025 não é múltiplo de 6, o termo não é 1.

Alternativa E — ❌ Incorreta

O valor 4 é o 2º termo do ciclo. Ele apareceria se o resto da divisão por 6 fosse 2. Como o resto é 3, o termo não é 4.

Gabarito: letra C — o 2025º termo é −1, pois a sequência é periódica de período 6 e 2025 deixa resto 3 na divisão por 6, correspondendo ao 3º termo do ciclo.