Intervalos e negação de proposições
Gabarito: letra D. Se as três afirmações estão erradas, então a distância D não satisfaz nenhuma das condições: não é verdade que D ≥ 11, não é verdade que D ≤ 7 e não é verdade que D ≤ 8. Isso significa que D < 11, D > 7 e D > 8, ou seja, D > 8 e D < 11, o que corresponde ao intervalo (8, 11).
O coração desta questão é a negação de proposições com quantificadores de intervalo. Quando alguém afirma "a distância está no mínimo a 11 km", está dizendo que D ≥ 11. A negação disso é D < 11. Quando alguém afirma "a distância está no máximo a 7 km", está dizendo que D ≤ 7. A negação é D > 7. Por fim, "no máximo a 8 km" significa D ≤ 8, cuja negação é D > 8.
Como as três estão erradas, todas as negações são verdadeiras simultaneamente. Temos então três condições: D < 11, D > 7 e D > 8. A condição D > 8 já implica D > 7, então a condição mais restritiva é D > 8. Combinando com D < 11, obtemos 8 < D < 11, ou seja, o intervalo aberto (8, 11).
Vamos pensar em um exemplo concreto. Se a distância real fosse 9 km, então: Luiza errou (não é verdade que está no mínimo a 11 km), Maria errou (não é verdade que está no máximo a 7 km) e Nair errou (não é verdade que está no máximo a 8 km). Perfeito, 9 km é um valor possível. Se fosse 10,5 km, também funcionaria. Se fosse 8 km exatamente, Nair estaria certa (pois 8 ≤ 8), então não pode. Se fosse 11 km, Luiza estaria certa (pois 11 ≥ 11), então não pode. Por isso o intervalo é aberto nas duas pontas.
A pegadinha clássica aqui é inverter o sentido da negação. Muitos candidatos, ao negar "no mínimo a 11", pensam em "no máximo a 11" (D ≤ 11), quando na verdade a negação correta é "menos de 11" (D < 11). O mesmo vale para "no máximo": negar "no máximo a 7" não é "no mínimo a 7", é "mais de 7" (D > 7). Essa inversão de extremos é o que derruba a maioria.
Outra armadilha é esquecer que, ao combinar as negações, a condição mais forte (D > 8) absorve a mais fraca (D > 7). O intervalo final não é (7, 11), porque a condição de Nair (D > 8) é mais restritiva que a de Maria (D > 7). A interseção das três condições é o que sobra após aplicar todas as negações.
Guarde o critério decisivo: negar cada afirmação individualmente, converter "no mínimo" em "menos que" e "no máximo" em "mais que", e então intersectar os intervalos resultantes. É exatamente nessa conversão que as alternativas se separam.
Proposição | Afirmação Original | Negação (Verdadeira) | Condição Combinada |
|---|
Luiza | D ≥ 11 | D < 11 | D < 11 |
Maria | D ≤ 7 | D > 7 | D > 7 |
Nair | D ≤ 8 | D > 8 | D > 8 |
Interseção | — | — | 8 < D < 11 |
Alternativa A — ❌ Incorreta
O intervalo (0, 7) representa D < 7. Isso viola a negação de Maria (D > 7) e a de Nair (D > 8). Se D estivesse entre 0 e 7, Maria estaria certa (pois D ≤ 7), o que contradiz o enunciado de que todas erraram.
Alternativa B — ❌ Incorreta
O intervalo (6, 7) também representa D < 7 (na prática, valores entre 6 e 7). Mesmo erro da alternativa A: viola as negações de Maria e Nair. Além disso, o limite inferior 6 não tem relação com nenhuma condição do problema.
Alternativa C — ❌ Incorreta
O intervalo (7, 8) representa 7 < D < 8. Isso satisfaz a negação de Maria (D > 7), mas viola a negação de Nair (D > 8). Se D estivesse, por exemplo, em 7,5 km, Nair estaria certa (pois 7,5 ≤ 8), o que não pode acontecer.
Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO
O intervalo (8, 11) representa 8 < D < 11. Isso satisfaz simultaneamente as três negações: D < 11 (negação de Luiza), D > 7 (negação de Maria, e como D > 8, automaticamente D > 7) e D > 8 (negação de Nair). Qualquer valor nesse intervalo faz com que as três afirmações sejam falsas.
Alternativa E — ❌ Incorreta
O intervalo (11, 26) representa D > 11. Isso viola a negação de Luiza (D < 11). Se D fosse, por exemplo, 15 km, Luiza estaria certa (pois 15 ≥ 11), o que contradiz o enunciado.
Gabarito: letra D — o intervalo que contém todos os possíveis valores de D é (8, 11).