Questão de Banco de Dados — Conceitos e Fundamentos de Modelo Relacional — FGV 2023

Axiomas de Armstrong e derivação de dependências funcionais

Gabarito: letra E. A derivação se B → A e C → A então B → C não é válida porque, embora B e C determinem individualmente A, isso não estabelece qualquer relação de determinação entre B e C — a regra correta seria a transitividade (X → Y e Y → Z ⇒ X → Z), que exige uma cadeia, não dois determinantes do mesmo atributo. Essa é a essência dos Axiomas de Armstrong, o conjunto de regras de inferência que permite derivar novas dependências funcionais a partir de um conjunto inicial.

Os Axiomas de Armstrong são a base formal da normalização de bancos de dados relacionais. Eles garantem que, se uma dependência funcional pode ser derivada por essas regras, ela é logicamente implicada pelo conjunto original — e vice-versa (completude). As regras fundamentais são:

• Reflexividade: se Y ⊆ X, então X → Y. Ou seja, um conjunto de atributos determina qualquer subconjunto seu.

• Aumentatividade (ou expansibilidade): se X → Y, então XZ → YZ para qualquer Z. Acrescentar atributos dos dois lados preserva a dependência.

• Transitividade: se X → Y e Y → Z, então X → Z. A determinação é transitiva.

A partir dessas três, derivam-se regras adicionais, como a união (se X → Y e X → Z, então X → YZ), a decomposição (se X → YZ, então X → Y e X → Z) e a pseudo-transitividade (se X → Y e YZ → W, então XZ → W).

A pegadinha da questão está em aplicar a transitividade de forma invertida: a alternativa E afirma que, se B e C determinam A, então B determina C. Isso seria válido apenas se houvesse uma cadeia do tipo B → A → C, o que não é dado. Na verdade, B → A e C → A apenas indicam que A é funcionalmente dependente de ambos, mas nada dizem sobre a relação entre B e C. Por exemplo, em uma tabela de alunos, tanto matrícula quanto CPF podem determinar nome, mas isso não implica que matrícula determine CPF.

Para resolver a questão, basta verificar cada alternativa contra os axiomas:

• A) A, B, C → A, B — válida por reflexividade, pois {A, B} ⊆ {A, B, C}.

• B) se A → B e A → C então A → B, C — válida pela regra da união.

• C) se A → B e B → C então A → C — válida por transitividade.

• D) se A → C então A, B → B, C — válida por aumentatividade (adiciona B aos dois lados) e depois decomposição.

• E) se B → A e C → A então B → C — inválida, pois não há regra que permita concluir isso.

Alternativa A — ✅ Correta

A dependência A, B, C → A, B é válida pelo axioma da reflexividade: se o conjunto do lado esquerdo contém o conjunto do lado direito, a dependência é garantida. Aqui, {A, B} é subconjunto de {A, B, C}, então a derivação é correta.

Alternativa B — ✅ Correta

A derivação se A → B e A → C então A → B, C é válida pela regra da união (ou aditiva): se um atributo determina dois outros separadamente, ele determina a combinação deles. É uma das regras derivadas dos axiomas de Armstrong.

Alternativa C — ✅ Correta

A derivação se A → B e B → C então A → C é exatamente o axioma da transitividade: a determinação é transitiva, então se A determina B e B determina C, A determina C. É uma das regras fundamentais.

Alternativa D — ✅ Correta

A derivação se A → C então A, B → B, C é válida pela aumentatividade (adiciona B aos dois lados: A, B → C, B) e depois pela decomposição (A, B → B, C). É uma combinação válida de axiomas.

Alternativa E — ❌ Incorreta ⟵ GABARITO

A derivação se B → A e C → A então B → C não é válida. Não existe nenhum axioma que permita concluir que dois atributos que determinam o mesmo atributo sejam dependentes entre si. A transitividade exigiria uma cadeia, como B → A e A → C, o que não é o caso. Portanto, esta é a única derivação inválida.

Gabarito: letra E — a única derivação que não é válida é a da alternativa E.