Questão de Matemática — Análise Combinatória (Princípio Fundamental da Contagem, Arranjos, Combinações, Permutações) — FGV 2024

Resolução

Gabarito: letra C — a conta chega a 6 maneiras — alternativa C.

A ideia por trás

Análise combinatória é a parte da matemática que conta de quantas formas diferentes podemos organizar ou escolher elementos de um conjunto. Aqui, o conjunto são os números 1, 2, 3 e 4, e queremos distribuí-los em quatro casas, mas com uma regra: em cada coluna, o número de cima deve ser menor que o de baixo. Essa regra é uma restrição que reduz as possibilidades.

Quando a ordem dentro de um grupo é forçada por uma condição, usamos combinação para escolher os elementos do grupo, não arranjo ou permutação. A combinação de n elementos tomados k a k é C(n,k) = n! / (k! (n-k)!). Ela conta quantos subconjuntos de tamanho k podemos formar sem nos importar com a ordem. Já o arranjo contaria ordens diferentes como casos distintos, o que não é o caso aqui.

Esta questão cobra exatamente essa distinção: escolher os dois números que vão para a coluna da esquerda é uma combinação, pois a ordem dentro da coluna já está determinada pela condição. Depois, os dois restantes vão para a direita automaticamente.

O que a questão dá

• números disponíveis: 1, 2, 3, 4

• tabela 2×2 (duas linhas, duas colunas)

• condição: em cada coluna, o número de cima é menor que o de baixo

O que queremos: o número de maneiras de preencher a tabela respeitando a condição

Passo 1 — Escolher os números da coluna esquerda

A condição do enunciado fixa a ordem dentro de cada coluna: o menor sempre em cima, o maior embaixo. Então, a única liberdade que temos é decidir quais dois números ocupam a coluna da esquerda. Os outros dois ficarão na direita.

Por que esta fórmula: Como a ordem dentro da coluna é forçada, escolher dois números entre quatro é uma combinação, não um arranjo. A combinação C(4,2) conta quantos pares distintos podemos formar sem nos importar com a ordem.

De onde vem cada valor: $4$ = enunciado: números 1, 2, 3, 4 · $2$ = definição: a coluna esquerda tem duas casas

Passo 2 — Colocar os números restantes na direita

Depois de escolher os dois números da esquerda, os dois que sobraram vão para a coluna da direita. Como a condição também vale para essa coluna, a ordem é forçada: o menor em cima, o maior embaixo. Não há escolha adicional.

Por que esta fórmula: Não há fórmula: para cada par escolhido na esquerda, a direita é determinada de forma única. Então o número de maneiras é exatamente o número de pares possíveis.

1 maneira para cada escolha da esquerda

Passo 3 — Multiplicar as escolhas de cada coluna

O princípio fundamental da contagem diz que, se uma escolha tem 6 possibilidades e a seguinte tem 1, o total é o produto. Aqui, a primeira escolha (coluna esquerda) tem 6 opções, e a segunda (coluna direita) tem 1, então o total é 6 × 1.

Por que esta fórmula: O PFC é a base: quando as escolhas são independentes, multiplicamos as quantidades. Como a segunda é determinada pela primeira, o fator é 1.

De onde vem cada valor: $6$ = passo 1: combinações possíveis para a esquerda · $1$ = passo 2: uma única forma para a direita

Resposta: 6 maneiras — alternativa C