Questão de Matemática — Área e Perímetro de Um Polígono Qualquer — FGV 2024

Resolução

Gabarito: letra C — a conta chega a 46 — alternativa C.

A ideia por trás

O perímetro de qualquer polígono é a soma das medidas de todos os seus lados. Quando o enunciado diz que dois lados consecutivos são sempre perpendiculares, isso significa que o polígono é formado apenas por segmentos horizontais e verticais, como um retângulo que teve um canto recortado. Essa propriedade permite descobrir os lados que não foram dados, porque os lados horizontais se equilibram entre si e os verticais também.

Em um polígono com lados apenas horizontais e verticais, a soma dos comprimentos dos lados horizontais que vão para a direita é igual à soma dos que vão para a esquerda; o mesmo vale para os lados verticais (para cima e para baixo). Isso é consequência de o polígono ser fechado: se você caminha ao longo do contorno, o deslocamento horizontal total é zero, então o que você anda para a direita precisa ser compensado pelo que anda para a esquerda. Essa relação vale para qualquer polígono com lados perpendiculares, mesmo que não seja um retângulo perfeito.

Esta questão cobra exatamente essa propriedade de equilíbrio: com três lados conhecidos, usamos a igualdade entre as somas horizontais e verticais para achar os lados que faltam, e então somamos tudo.

O que a questão dá

• lado horizontal conhecido = 10

• lado vertical conhecido = 12

• lado horizontal conhecido = 8

O que queremos: o perímetro do polígono

Passo 1 — Descobrir o lado horizontal que falta

O polígono tem lados horizontais e verticais. Os lados horizontais conhecidos são 10 e 8, e há um terceiro horizontal desconhecido. Como o polígono é fechado, a soma dos lados horizontais que vão para a direita deve ser igual à soma dos que vão para a esquerda. Isso permite achar o lado que falta.

Por que esta fórmula: Se considerarmos o lado de 10 como o total de uma direção, e os lados de 8 e o desconhecido como a outra direção, temos 10 = 8 + x. Essa é a relação de equilíbrio horizontal.

De onde vem cada valor: $10$ = enunciado: lado horizontal conhecido · $8$ = enunciado: lado horizontal conhecido · $x$ = definição: lado horizontal desconhecido

Passo 2 — Descobrir o lado vertical que falta

Assim como nos horizontais, os lados verticais também se equilibram. Temos um lado vertical conhecido de 12 e outro de 8, e um terceiro vertical desconhecido. A soma dos que vão para cima deve ser igual à soma dos que vão para baixo.

Por que esta fórmula: Analogamente, 12 = 8 + y, onde y é o lado vertical desconhecido.

De onde vem cada valor: $12$ = enunciado: lado vertical conhecido · $8$ = enunciado: lado vertical conhecido · $y$ = definição: lado vertical desconhecido

Passo 3 — Descobrir o último lado horizontal

Já achamos dois lados desconhecidos, mas ainda falta um lado horizontal. Esse lado é paralelo ao lado de 10, e como o polígono é fechado, ele deve ter o mesmo comprimento que o lado de 10, pois não há outros lados horizontais na mesma direção.

Por que esta fórmula: Por paralelismo e equilíbrio, o lado horizontal restante é igual ao lado de 10.

De onde vem cada valor: $z$ = definição: lado horizontal desconhecido · $10$ = enunciado: lado horizontal conhecido

Passo 4 — Somar todos os lados

Agora que conhecemos todos os seis lados, o perímetro é a soma deles. Somar é a operação final que responde à questão.

Por que esta fórmula: Perímetro é a soma de todos os lados do polígono.

De onde vem cada valor: $10$ = passo 3: último lado horizontal · $12$ = enunciado: lado vertical · $8$ = enunciado: lado horizontal · $2$ = passo 1: lado horizontal que falta · $4$ = passo 2: lado vertical que falta

Resposta: 46 — alternativa C