Questão de Matemática — Quadriláteros (Propriedades, Área, Perímetro, Soma dos Ângulos, etc) — FGV 2024

Razão entre lados de um retângulo e a constante k

Gabarito: letra E. A área do retângulo pode ser expressa como $k d^2$, com $k = \frac{20}{41}$. Isso porque, se os lados estão na razão $4:5$, podemos escrevê-los como $4x$ e $5x$; a diagonal $d$ vale $\sqrt{(4x)^2 + (5x)^2} = x\sqrt{41}$, e a área $A = 4x \cdot 5x = 20x^2$. Substituindo $x^2 = \frac{d^2}{41}$, obtemos $A = \frac{20}{41}d^2$, logo $k = \frac{20}{41}$.

A questão envolve dois conceitos básicos de geometria plana: a razão entre lados e o Teorema de Pitágoras aplicado à diagonal do retângulo. Quando o enunciado diz que a razão entre as medidas dos lados é $\frac{4}{5}$, isso significa que, se um lado mede $4x$, o outro mede $5x$, para algum fator de escala $x > 0$. Esse fator é essencial: ele permite que a razão seja mantida, mas as medidas reais variem conforme o tamanho do retângulo.

A diagonal de um retângulo divide-o em dois triângulos retângulos, nos quais a diagonal é a hipotenusa e os lados do retângulo são os catetos. Pelo Teorema de Pitágoras, temos:

Portanto, $d = x\sqrt{41}$. A área do retângulo é o produto dos lados:

Para expressar a área em função de $d$, isolamos $x^2$ na relação da diagonal: $x^2 = \frac{d^2}{41}$. Substituindo na área:

Assim, a constante $k$ é $\frac{20}{41}$, que corresponde à alternativa E.

A pegadinha clássica nesse tipo de questão é esquecer o fator $x$ e trabalhar diretamente com os números 4 e 5, calculando a diagonal como $\sqrt{4^2 + 5^2} = \sqrt{41}$ e a área como $4 \times 5 = 20$, mas sem relacionar corretamente com $d$. O passo crucial é perceber que a área é proporcional a $d^2$, e a constante de proporcionalidade é exatamente $\frac{20}{41}$.

Alternativa A — ❌ Incorreta

O valor $\frac{5}{9}$ não corresponde a nenhuma relação direta entre os lados 4 e 5. Ele poderia surgir de uma confusão com a razão entre um lado e a diagonal, mas não é a constante que multiplica $d^2$ para obter a área. A área é $20x^2$, e $d^2 = 41x^2$, então a razão correta é $\frac{20}{41}$, não $\frac{5}{9}$.

Alternativa B — ❌ Incorreta

$\frac{25}{81}$ é um valor que não aparece em nenhuma etapa do cálculo. Ele poderia ser obtido erroneamente ao elevar ao quadrado a razão $\frac{5}{9}$ (que também não é a razão correta), mas não tem relação com a área do retângulo. A área é $20x^2$, e a constante é $\frac{20}{41}$.

Alternativa C — ❌ Incorreta

$\frac{21}{25}$ é um distrator que não corresponde a nenhuma combinação dos números 4 e 5. Ele poderia surgir de uma soma incorreta (por exemplo, $4^2 + 5^2 = 41$, mas $\frac{21}{25}$ não é $\frac{20}{41}$). A constante correta é $\frac{20}{41}$.

Alternativa D — ❌ Incorreta

$\frac{15}{31}$ é outro valor sem fundamento no problema. Ele não aparece em nenhuma relação entre lados, diagonal e área. A área é $20x^2$, e $d^2 = 41x^2$, então a constante é $\frac{20}{41}$.

Alternativa E — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Como demonstrado, a área é $A = 20x^2$ e a diagonal ao quadrado é $d^2 = 41x^2$. Portanto, $A = \frac{20}{41}d^2$, e a constante $k$ é $\frac{20}{41}$. Essa é a única alternativa que reflete corretamente a relação entre a área e a diagonal do retângulo.

Gabarito: letra E