Pular para o conteúdo principal

Questão de Matemática — Geometria Analítica — FGV 2024

MatemáticaGeometria Analítica
Código
fg164290
Banca
FGV
Órgão
Pref SJC
Ano
2024
Cargo
Ana GM ( )

O diâmetro de uma circunferência em um sistema de coordenadas cartesianas tem extremidades (0, 0) e (6, 8).

 

Além do ponto (0, 0), essa circunferência corta o eixo-X em um outro ponto, de coordenadas (b, 0).

 

O valor de b é

  1. A2\sqrt2 .
  2. B4\sqrt2 .
  3. C6.
  4. D8.
  5. E10.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoC — 6.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra C — a conta chega a b = 6 — alternativa C.

A ideia por trás

Uma circunferência é o conjunto de pontos que estão a uma distância fixa (o raio) de um ponto central. O diâmetro é o dobro do raio e passa pelo centro; quando o enunciado dá as extremidades do diâmetro, ele está informando dois pontos opostos da circunferência. O centro é o ponto médio desse segmento, pois divide o diâmetro em duas partes iguais.

A equação reduzida da circunferência é (x - x_c)² + (y - y_c)² = r², onde (x_c, y_c) é o centro e r é o raio. Para achar onde a circunferência corta o eixo-X, fazemos y = 0, pois todo ponto do eixo-X tem ordenada zero. Isso transforma a equação em uma equação do segundo grau em x, que pode ter duas soluções — os dois pontos de interseção.

Esta questão pede exatamente o segundo ponto de interseção com o eixo-X. Precisamos encontrar o centro e o raio a partir do diâmetro, escrever a equação da circunferência e resolver para y = 0.

O que a questão dá

  • extremidades do diâmetro: (0, 0) e (6, 8)

  • a circunferência corta o eixo-X em (0, 0) e em (b, 0)

O que queremos: o valor de b, a coordenada x do segundo ponto de interseção com o eixo-X

Passo 1 — Achar o centro da circunferência

O centro é o ponto médio do diâmetro, pois ele divide o segmento em duas partes iguais. Sem o centro, não conseguimos escrever a equação da circunferência.

Por que esta fórmula: O ponto médio de dois pontos (x1, y1) e (x2, y2) é a média aritmética das coordenadas: ((x1+x2)/2, (y1+y2)/2).

C=(x1+x22,y1+y22)C = \left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right)

De onde vem cada valor: x1x_1 = enunciado: 0 · y1y_1 = enunciado: 0 · x2x_2 = enunciado: 6 · y2y_2 = enunciado: 8

C=(0+62,0+82)C = \left(\frac{0+6}{2}, \frac{0+8}{2}\right)
C=(3,4)C = \boxed{(3, 4)}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de dividir por 2 e usar (6, 8) como centro — isso daria uma circunferência errada.

Passo 2 — Calcular o raio da circunferência

O raio é a distância do centro a qualquer ponto da circunferência; usamos uma das extremidades do diâmetro, pois ela pertence à circunferência. Com centro e raio, podemos montar a equação.

Por que esta fórmula: A distância entre dois pontos (x1, y1) e (x2, y2) é dada por √((x2-x1)² + (y2-y1)²). Aqui, usamos o centro (3,4) e a extremidade (0,0).

r = √((x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2)

De onde vem cada valor: x1x_1 = passo 1: 3 · y1y_1 = passo 1: 4 · x2x_2 = enunciado: 0 · y2y_2 = enunciado: 0

r = √((0-3)^2 + (0-4)^2 = √(9+16))
r=5r = \boxed{5}
NÃO CAIA NESSA!

Usar a distância entre as extremidades (0,0) e (6,8) e não dividir por 2 — isso daria o diâmetro, não o raio.

Passo 3 — Escrever a equação da circunferência

Com o centro e o raio, a equação reduzida descreve todos os pontos da circunferência. É ela que vamos usar para achar as interseções com o eixo-X.

Por que esta fórmula: A equação reduzida é (x - x_c)² + (y - y_c)² = r², onde (x_c, y_c) é o centro e r o raio. Ela vem da definição de circunferência: distância ao centro igual ao raio.

(x−xc)2+(y−yc)2=r2(x - x_c)^{2} + (y - y_c)^{2} = r^{2}

De onde vem cada valor: xcx_c = passo 1: 3 · ycy_c = passo 1: 4 · rr = passo 2: 5

(x−3)2+(y−4)2=25(x-3)^{2} + (y-4)^{2} = 25
(x−3)2+(y−4)2=25(x-3)^{2} + (y-4)^{2} = \boxed{25}
NÃO CAIA NESSA!

Trocar os sinais: escrever (x+3)² em vez de (x-3)² — isso deslocaria a circunferência para o outro lado.

Passo 4 — Fazer y = 0 para achar os cortes no eixo-X

Todo ponto do eixo-X tem ordenada zero. Substituir y = 0 na equação da circunferência nos dá uma equação só em x, cujas soluções são as abscissas dos pontos de interseção.

Por que esta fórmula: Não é uma fórmula nova, é a substituição direta na equação do passo 3.

(x−3)2+(0−4)2=25(x-3)^{2} + (0-4)^{2} = 25

De onde vem cada valor: xx = incógnita · yy = constante: 0 (eixo-X)

(x−3)2+16=25(x-3)^{2} + 16 = 25
(x−3)2=9(x-3)^{2} = \boxed{9}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de elevar (0-4) ao quadrado e usar -4 — o quadrado elimina o sinal.

Passo 5 — Resolver a equação para x

A equação (x-3)² = 9 tem duas soluções, porque tanto 3² quanto (-3)² dão 9. Cada solução corresponde a um ponto de interseção com o eixo-X.

Por que esta fórmula: Para resolver (x-3)² = 9, extraímos a raiz quadrada dos dois lados, lembrando do sinal ±.

x−3=±3x - 3 = \pm 3

De onde vem cada valor: 33 = passo 4: raiz de 9

x=3±3x = 3 \pm 3

x = 0 ou x = 6

NÃO CAIA NESSA!

Esquecer o sinal ± e achar só x = 6 — mas o ponto (0,0) também é interseção.

Passo 6 — Identificar o segundo ponto de interseção

O enunciado já informa que um dos cortes é (0,0); o outro é o que procuramos. Das duas soluções, x = 0 é o ponto conhecido, então o outro é x = 6.

Por que esta fórmula: Não há fórmula; é uma decisão baseada no enunciado.

b=6b = \boxed{6}
NÃO CAIA NESSA!

Confundir as soluções e escolher x = 0 como resposta — mas esse ponto já era dado.

Resposta: b = 6 — alternativa C

Link permanente: /questoes/fg164290