Considere uma sequência de pontos do plano cartesiano tal que para cada ponto (x, y) da sequência, o próximo ponto é obtido de acordo com a seguinte regra:
Se x é ímpar, então o próximo ponto será (x + 3, y − 1);
Se x é par, então o próximo ponto será \left ( { \large x \over 2}, 2y\right).
Começando com o ponto (2024, 0), a soma das coordenadas do 10o ponto da sequência é
A24.
B12.
C0.
D−12.
E−24.
Revelar gabarito e comentário▾
GabaritoE — −24.
Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.
Resolução
Gabarito: letra E — a conta chega a Soma = −24, alternativa E.
A ideia por trás
Uma sequência definida por recorrência é uma lista de elementos em que cada um é obtido do anterior seguindo uma regra fixa. Aqui os elementos são pontos do plano cartesiano, e a regra muda conforme a paridade da coordenada x: se x é par, o ponto é transformado de um jeito; se é ímpar, de outro. O ponto inicial já conta como o 1º da sequência.
A regra de recorrência é uma função que recebe um ponto e devolve o próximo. Quando x é par, a nova coordenada x é a metade da anterior e a nova y é o dobro da anterior; quando x é ímpar, a nova x é a anterior mais 3 e a nova y é a anterior menos 1. O comportamento depende fortemente da paridade: enquanto x for par, a sequência segue o primeiro ramo; quando x se torna ímpar, muda para o segundo ramo.
Esta questão exige aplicar a regra repetidamente, começando do ponto dado, até chegar ao 10º ponto. O cuidado principal é contar corretamente: o ponto inicial é o 1º, então precisamos aplicar a regra 9 vezes para obter o 10º.
O que a questão dá
ponto inicial: (2024, 0)
regra: se x é ímpar, próximo = (x+3, y−1); se x é par, próximo = (x/2, 2y)
pede-se o 10º ponto da sequência
O que queremos: a soma das coordenadas do 10º ponto
Passo 1 — Aplicar a regra até o 10º ponto
A sequência é definida por recorrência, então o único caminho é aplicar a regra passo a passo, começando do ponto inicial. Cada aplicação gera o próximo ponto, e precisamos fazer isso até alcançar o 10º.
Por que esta fórmula: Não há fórmula única; a regra é condicional: se x é par, usa-se (x/2, 2y); se x é ímpar, usa-se (x+3, y−1). Vamos aplicar essa regra sucessivamente.
NÃO CAIA NESSA!
Contar o ponto inicial como ponto 0 e aplicar a regra 10 vezes, obtendo o 11º ponto. O ponto inicial é o 1º.
Passo 2 — Calcular os primeiros pontos
Precisamos dos valores intermediários para chegar ao 10º ponto. Vamos calcular os pontos 2 a 4, observando que x é par até o ponto 3.
Por que esta fórmula: Como x é par, usamos a regra do ramo par: (x/2, 2y).
De onde vem cada valor: = passo 1: ponto inicial (2024, 0) para P_2; depois usa-se o ponto anterior calculado no mesmo passo · = passo 1: ponto inicial (2024, 0) para P_2; depois usa-se o ponto anterior calculado no mesmo passo
P_2=(1012,0), P_3=(506,0), P_4=(253,0)
NÃO CAIA NESSA!
Esquecer de multiplicar y por 2 quando x é par; aqui y=0, então não muda, mas em outros passos muda.
Passo 3 — Aplicar a regra do ramo ímpar
No ponto 4, x=253 é ímpar, então a regra muda. Precisamos aplicar o ramo ímpar para obter o ponto 5.
Por que esta fórmula: Como x é ímpar, usamos (x+3, y−1).
De onde vem cada valor: = passo 2: P_4 = (253, 0) · = passo 2: P_4 = (253, 0)
NÃO CAIA NESSA!
Usar a regra do ramo par por engano, dividindo 253 por 2.
Passo 4 — Continuar com o ramo par até o 10º ponto
A partir do ponto 5, x=256 é par, e continuará par até o ponto 10, então aplicamos repetidamente o ramo par. Precisamos calcular os pontos 6 a 10.
Por que esta fórmula: Como x é par, usamos (x/2, 2y) a cada passo.
De onde vem cada valor: = passo 3: P_5 = (256, −1) para P_6; depois usa-se o ponto anterior calculado no mesmo passo · = passo 3: P_5 = (256, −1) para P_6; depois usa-se o ponto anterior calculado no mesmo passo
NÃO CAIA NESSA!
Perder a conta de quantos passos já foram dados; é fácil se confundir e parar no 9º ponto.
Passo 5 — Somar as coordenadas do 10º ponto
A pergunta pede a soma das coordenadas do 10º ponto, então agora que o temos, basta somar x e y.
Por que esta fórmula: A soma é simplesmente x + y.
De onde vem cada valor: = passo 4: P_10 = (8, −32) · = passo 4: P_10 = (8, −32)