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Questão de Matemática — Polígonos Regulares (Medida do Lado, Diagonal, Apótema e Área; Ângulo Interno) — FGV 2024

MatemáticaPolígonos Regulares (Medida do Lado, Diagonal, Apótema e Área; Ângulo Interno)
Código
fg164293
Banca
FGV
Órgão
CM SP
Ano
2024
Cargo
Cons Leg ( )
A figura abaixo mostra um triângulo equilátero de lado AB com dois pentágonos regulares colados. O ângulo α\alpha assinalado na figura mede:Imagem associada para resolução da questão
  1. A42º .
  2. B45º .
  3. C48º .
  4. D52º .
  5. E56º .
Revelar gabarito e comentário

GabaritoC — 48º .

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra C — a conta chega a α = 48° — alternativa C.

A ideia por trás

Um polígono regular tem todos os lados e todos os ângulos internos iguais. O ângulo interno é o ângulo formado por dois lados consecutivos dentro da figura; no triângulo equilátero ele vale 60°, e no pentágono regular, 108°. Quando várias figuras se encontram em um vértice, a soma dos ângulos em volta desse ponto é sempre 360°.

A soma dos ângulos internos de um polígono de n lados é S = 180° × (n − 2). Dividindo S por n obtemos cada ângulo interno. Para o triângulo (n = 3), S = 180° e cada ângulo = 60°; para o pentágono (n = 5), S = 540° e cada ângulo = 108°. Quanto mais lados, maior o ângulo interno.

A questão pede o ângulo α formado entre um lado do triângulo e um lado do pentágono no vértice comum. Precisamos calcular os ângulos internos das figuras e subtrair o do triângulo do do pentágono.

O que a questão dá

  • triângulo equilátero de lado AB

  • dois pentágonos regulares colados ao triângulo

  • ângulo α assinalado na figura

O que queremos: a medida do ângulo α

Passo 1 — Calcular o ângulo interno do triângulo

O triângulo equilátero é um polígono regular de 3 lados, e todos os seus ângulos internos são iguais. Precisamos desse valor para comparar com o ângulo do pentágono.

Por que esta fórmula: A soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é 180°, e como o triângulo é equilátero, cada ângulo é a soma dividida por 3.

aˆngulo do triaˆngulo=180°3\text{ângulo do triângulo} = \frac{180°}{3}

De onde vem cada valor: 180°180° = definição: soma dos ângulos internos de um triângulo · 33 = definição: número de lados do triângulo equilátero

aˆngulo do triaˆngulo=180°3=60 ∘\text{ângulo do triângulo} = \frac{180°}{3} = \boxed{60\ ^\circ}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer que o triângulo é equilátero e tentar usar outra fórmula

Passo 2 — Calcular o ângulo interno do pentágono

O pentágono regular também tem todos os ângulos internos iguais, e precisamos desse valor para a diferença que dará α.

Por que esta fórmula: A soma dos ângulos internos de um polígono de n lados é 180° × (n − 2). Para o pentágono, n = 5, então a soma é 180° × 3 = 540°, e cada ângulo é essa soma dividida por 5.

aˆngulo do pentaˊgono=180°×(5−2)5\text{ângulo do pentágono} = \frac{180° \times (5 - 2)}{5}

De onde vem cada valor: 55 = definição: número de lados do pentágono · 22 = constante: da fórmula da soma dos ângulos internos

aˆngulo do pentaˊgono=180°×35=108 ∘\text{ângulo do pentágono} = \frac{180° \times 3}{5} = \boxed{108\ ^\circ}
NÃO CAIA NESSA!

Usar n = 3 na fórmula, confundindo com o triângulo

Passo 3 — Subtrair o ângulo do triângulo do ângulo do pentágono

Na figura, α é o ângulo entre um lado do triângulo e um lado do pentágono no vértice comum. Como os dois lados partem do mesmo ponto, o ângulo entre eles é a diferença entre os ângulos internos das duas figuras.

Por que esta fórmula: Não há fórmula nova: é uma subtração direta dos valores obtidos nos passos anteriores.

α=108°−60°\alpha = 108° - 60°

De onde vem cada valor: 108°108° = passo 2 · 60°60° = passo 1

α=108°−60°=48 ∘\alpha = 108° - 60° = \boxed{48\ ^\circ}
NÃO CAIA NESSA!

Calcular o ângulo central (360° − 276° = 84°) em vez da diferença entre os ângulos internos

Resposta: α = 48° — alternativa C

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