Questão de Matemática — Definição, Subconjuntos, Inclusão e Pertinência, Operações, Conjunto das Partes — FGV 2024

Conjuntos: operações e complementar

Gabarito: letra C. O conjunto pedido — elementos que pertencem a A e a B, mas não a C — é a interseção de A com o complementar de C, intersectada com B também intersectado com o complementar de C, ou seja, $(A \cap \bar{C}) \cap (B \cap \bar{C})$. A alternativa C expressa exatamente isso, pois exige que o elemento esteja em A, em B e fora de C simultaneamente.

A questão trabalha com três operações básicas de conjuntos: interseção ($\cap$), que seleciona elementos comuns a dois conjuntos; união ($\cup$), que reúne elementos de dois conjuntos; e complementar ($\bar{C}$), que reúne tudo que não está em C. O enunciado pede uma combinação específica: o elemento deve satisfazer três condições ao mesmo tempo — pertencer a A, pertencer a B e não pertencer a C. Quando todas as condições precisam ser verdadeiras simultaneamente, usamos interseções sucessivas.

Vamos decompor a exigência: "elementos que pertencem simultaneamente aos conjuntos A e B" significa $A \cap B$. "Mas não pertencem ao conjunto C" significa que também devemos intersectar com $\bar{C}$. Assim, a expressão direta seria $(A \cap B) \cap \bar{C}$. Porém, nenhuma alternativa traz essa forma exata — e é aí que mora a pegadinha: precisamos reconhecer uma expressão equivalente.

A alternativa C, $(A \cap \bar{C}) \cap (B \cap \bar{C})$, é equivalente a $(A \cap B) \cap \bar{C}$ pela propriedade associativa da interseção. Veja: $(A \cap \bar{C}) \cap (B \cap \bar{C}) = A \cap \bar{C} \cap B \cap \bar{C} = A \cap B \cap \bar{C}$ (pois $\bar{C} \cap \bar{C} = \bar{C}$). Ou seja, a alternativa C "espalha" o complementar de C em cada parcela, mas o resultado é o mesmo: o elemento precisa estar em A, em B e fora de C.

Para fixar, pense num exemplo concreto. Seja o universo $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$, com $A = \{1, 2, 3\}$, $B = \{2, 3, 4\}$ e $C = \{3, 4, 5\}$. Então $\bar{C} = \{1, 2, 6\}$. O conjunto pedido é formado pelos elementos que estão em A e B, mas não em C: $A \cap B = \{2, 3\}$, e tirando os que estão em C, sobra apenas $\{2\}$. Agora calculemos a alternativa C: $A \cap \bar{C} = \{1, 2\}$ e $B \cap \bar{C} = \{2, 6\}$; a interseção desses dois é $\{2\}$. Confere! Já a alternativa A, $(A \cup B) \cap \bar{C}$, daria $\{1, 2, 3, 4\} \cap \{1, 2, 6\} = \{1, 2\}$, que inclui o elemento 1 — que não está em B. Por isso A está errada.

A distinção crucial é entre união e interseção. A união ($\cup$) exige que o elemento esteja em pelo menos um dos conjuntos; a interseção ($\cap$) exige que esteja em todos. O enunciado pede "pertencem simultaneamente a A e B" — isso é interseção, não união. As alternativas que usam $\cup$ (A, D e E) erram justamente por permitir elementos que estão em apenas um dos conjuntos. A alternativa B erra ao unir $A \cap B$ com $\bar{C}$, o que incluiria todos os elementos fora de C, mesmo que não estejam em A ou B.

Guarde o critério decisivo: "e" vira interseção, "ou" vira união, "não" vira complementar. A questão pede A e B e não-C — logo, tudo intersectado. É exatamente nessa tradução que as alternativas se separam.

Alternativa A — ❌ Incorreta

$(A \cup B) \cap \bar{C}$ representa os elementos que estão em A ou em B (união), e que também não estão em C. Isso inclui elementos que estão apenas em A ou apenas em B, mas o enunciado exige que estejam simultaneamente em A e B. Por exemplo, um elemento que está em A mas não em B satisfaria essa expressão, contrariando o pedido. O erro está em trocar a interseção $A \cap B$ pela união $A \cup B$.

Alternativa B — ❌ Incorreta

$(A \cap B) \cup \bar{C}$ representa os elementos que estão em A e B ou os elementos que não estão em C. Isso inclui todos os elementos fora de C, mesmo aqueles que não pertencem a A nem a B. O enunciado exige que o elemento pertença a A e a B além de não pertencer a C — as três condições simultâneas. A união com $\bar{C}$ "solta" a exigência de pertencer a A e B, tornando a expressão muito mais ampla que o pedido.

Alternativa C — ✅ Correta ⟵ GABARITO

$(A \cap \bar{C}) \cap (B \cap \bar{C})$ exige que o elemento esteja em A e fora de C, e também em B e fora de C. Pela associatividade da interseção, isso equivale a $A \cap B \cap \bar{C}$: o elemento pertence a A, a B e não pertence a C — exatamente o que o enunciado pede. É a única alternativa que impõe as três condições simultaneamente, sem incluir elementos extras.

Alternativa D — ❌ Incorreta

$(A \cap \bar{C}) \cup (B \cap \bar{C})$ representa os elementos que estão em A e fora de C ou em B e fora de C. Isso inclui elementos que estão apenas em A (fora de C) ou apenas em B (fora de C), mas o enunciado exige que estejam em ambos A e B. A união permite que uma das condições seja satisfeita isoladamente, o que contraria o "simultaneamente" do pedido.

Alternativa E — ❌ Incorreta

$(A \cup \bar{C}) \cap (B \cup \bar{C})$ representa os elementos que estão em A ou fora de C, e também em B ou fora de C. Isso inclui elementos que não estão nem em A nem em B, desde que estejam fora de C — por exemplo, qualquer elemento de $\bar{C}$ que não pertença a A nem a B satisfaz ambas as uniões. A expressão é ampla demais e não impõe a pertença simultânea a A e B.

Gabarito: letra C