Questão de Matemática — Números Naturais: Introdução, Representação, Propriedades — FGV 2024

Operação binária definida por paridade

Gabarito: letra D. A expressão $(A\otimes B)\otimes A$ resulta em 1 se B for ímpar — e é exatamente isso que a alternativa D afirma. A chave está em perceber que $A\otimes B$ vale 1 exatamente quando A e B têm paridades diferentes; ao combinar esse resultado com A, o valor final depende crucialmente da paridade de B, não de A.

Vamos entender a operação definida. Ela é uma operação binária que recebe dois números inteiros e devolve apenas 0 ou 1, conforme a paridade (se o número é par ou ímpar) dos operandos. A regra é simples: se os dois números têm a mesma paridade (ambos pares ou ambos ímpares), o resultado é 0; se têm paridades diferentes (um par e outro ímpar), o resultado é 1. Em outras palavras, a operação $\otimes$ é uma espécie de "detector de diferença de paridade": ela acende (1) quando os números são de naturezas diferentes e apaga (0) quando são iguais.

O que a questão pede é o resultado da composição $(A\otimes B)\otimes A$. Isso significa que primeiro calculamos $A\otimes B$, obtendo um valor que só pode ser 0 ou 1, e depois usamos esse valor como o primeiro operando de uma nova operação com A. O ponto crucial é que o resultado intermediário $A\otimes B$ é sempre um número par (0 ou 2, ambos pares). Então, a segunda operação é sempre entre um número par (o resultado intermediário) e A.

Agora, a segunda operação depende da paridade de A. Se A for par, temos par com par → mesmo resultado 0. Se A for ímpar, temos par com ímpar → resultado 1. Mas o que decide o resultado final não é apenas A: é a combinação da paridade de A com o valor de $A\otimes B$, que por sua vez depende da paridade de B. Vamos analisar os quatro casos possíveis para A e B:

Observando a tabela, o resultado final é 1 exatamente quando B é ímpar, independentemente de A. Quando B é par, o resultado é 0. Portanto, a expressão $(A\otimes B)\otimes A$ é 1 se, e somente se, B for ímpar. Essa é a propriedade que a alternativa D captura corretamente.

A pegadinha da banca está em fazer o candidato focar na paridade de A, quando na verdade o que determina o resultado é a paridade de B. Muitos alunos, ao verem o A repetido na expressão, assumem que a resposta depende de A, mas a análise sistemática mostra o contrário. A operação $\otimes$ é uma função que "compara" paridades, e a composição com A "filtra" o resultado de uma forma que anula a influência de A.

Alternativa A — ❌ Incorreta

Afirma que o resultado é sempre 0. Isso é falso, pois quando B é ímpar, o resultado é 1 (como mostrado na tabela). A alternativa ignora o caso em que A e B têm paridades diferentes, que gera resultado 1.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Afirma que o resultado é 0 se A for par. Isso é falso: se A for par e B for ímpar, o resultado é 1. A alternativa confunde a influência de A com a de B. O resultado depende de B, não de A.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Afirma que o resultado é 0 se A for ímpar. Isso é falso: se A for ímpar e B for ímpar, o resultado é 1. Novamente, a alternativa erra ao atribuir a A o papel que pertence a B.

Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Afirma que o resultado é 1 se B for ímpar. Isso é exatamente o que a tabela demonstra: sempre que B é ímpar, o resultado final é 1, independentemente de A. A alternativa está correta e é a única que descreve com precisão o comportamento da expressão.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Afirma que o resultado é sempre 1. Isso é falso, pois quando B é par, o resultado é 0 (como nos casos A par/B par e A ímpar/B par). A alternativa generaliza indevidamente um caso particular.

Gabarito: letra D — o resultado de $(A\otimes B)\otimes A$ é 1 se, e somente se, B for ímpar.