GabaritoB — 40.
Gabarito: letra B — a conta chega a Soma = 40 — alternativa B.
Quando uma equação tem duas incógnitas e só uma equação, não dá para resolver de forma única — mas se as incógnitas são inteiras, a saída é transformar a equação em um produto de dois fatores. Aí entra a ideia de divisor: se o produto de dois inteiros é um número fixo, cada fator só pode ser um divisor desse número. Divisores de um inteiro são os números que o dividem exatamente, sem sobrar resto.
A equação xy - y² + 24 = 0 pode ser reescrita como y(x - y) = -24. Isso é útil porque, como y é inteiro positivo, ele deve ser um divisor positivo de 24. Para cada divisor y, o valor de x sai de x = y - 24/y. A condição de x ser positivo restringe ainda mais: precisamos que y - 24/y > 0, ou seja, y² > 24, então y ≥ 5. Assim, só alguns divisores de 24 servem.
Esta questão cobra exatamente essa técnica: fatorar a equação, listar os divisores de 24 e filtrar os que dão x positivo. O passo crítico é não esquecer a condição x > 0, que elimina vários candidatos.
equação: xy - y² + 24 = 0
x e y são inteiros positivos
O que queremos: a soma dos possíveis valores de x
A equação tem duas incógnitas, então não dá para isolar uma diretamente. Mas se colocarmos y em evidência, ela vira um produto de dois fatores igual a um número fixo — e isso permite usar a ideia de divisores.
Por que esta fórmula: Colocar y em evidência: xy - y² = y(x - y). Passando o 24 para o outro lado, fica y(x - y) = -24.
De onde vem cada valor: = enunciado: incógnita da equação · = definição: fatoração de xy - y² · = enunciado: 24 passado para o outro lado com sinal trocado
Esquecer de trocar o sinal do 24 ao passar para o outro lado, ficando com +24.
Como y é inteiro positivo e multiplica (x - y) resultando em -24, y precisa ser um divisor de 24. Listar esses divisores é o passo que gera os candidatos a y.
Por que esta fórmula: Divisores de 24 são os números que o dividem exatamente: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 e 24.
Esquecer algum divisor, como 8 ou 12.
Com os candidatos a y em mãos, precisamos descobrir qual x acompanha cada um. Isolando x na equação original, obtemos uma fórmula direta.
Por que esta fórmula: Da equação y(x - y) = -24, dividimos por y (y > 0) e isolamos x: x - y = -24/y, então x = y - 24/y.
De onde vem cada valor: = passo 2: cada divisor listado · = enunciado: constante da equação
Inverter a fração: usar 24/y - y em vez de y - 24/y.
O enunciado exige x inteiro positivo, então muitos candidatos do passo 3 vão cair fora. Precisamos testar cada divisor e manter só os que dão x > 0.
Por que esta fórmula: Para cada y, calculamos x = y - 24/y e verificamos se é positivo. Os divisores 1, 2, 3 e 4 dão x negativo; os divisores 6, 8, 12 e 24 dão x positivo.
Incluir y = 4, que dá x = -2, esquecendo que x precisa ser positivo.
A questão pede a soma dos possíveis valores de x, então depois de filtrar, basta somar os quatro que sobraram.
Por que esta fórmula: Soma direta: 2 + 5 + 10 + 23.
De onde vem cada valor: = passo 4: x para y = 6 · = passo 4: x para y = 8 · = passo 4: x para y = 12 · = passo 4: x para y = 24
Somar todos os x calculados, inclusive os negativos, o que daria um número errado.
Resposta: Soma = 40 — alternativa B
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