Questão de Matemática — Análise Combinatória (Princípio Fundamental da Contagem, Arranjos, Combinações, Permutações) — FGV 2024

Análise Combinatória: contagem de apertos de mão

Gabarito: letra E. O número de apertos de mão é 15, pois cada uma das 3 pessoas que não conheciam ninguém cumprimentou as outras 6 pessoas (3 conhecidas + 3 desconhecidas), totalizando 3 × 6 = 18 cumprimentos, dos quais 3 são apertos entre elas mesmas (3 pares entre as 3 desconhecidas), resultando em 18 − 3 = 15 apertos de mão. A questão exige apenas o Princípio Fundamental da Contagem, sem fórmulas de arranjo ou combinação.

O problema descreve um encontro com 7 pessoas, divididas em dois grupos: 4 que se conheciam mutuamente e 3 que não conheciam ninguém. A regra é clara: quem se conhecia trocou abraço; quem não se conhecia trocou aperto de mãos. A pergunta é quantos apertos de mão ocorreram.

Vamos pensar com calma. As 3 pessoas que não conheciam ninguém não se conheciam entre si, nem conheciam as outras 4. Portanto, cada uma dessas 3 pessoas cumprimentou com aperto de mãos todas as outras 6 pessoas do encontro (as 4 conhecidas e as outras 2 desconhecidas). Isso daria 3 × 6 = 18 cumprimentos. Mas cada aperto de mão entre duas pessoas desconhecidas foi contado duas vezes (uma vez para cada uma delas). Os apertos entre as próprias 3 desconhecidas são exatamente os pares formados entre elas: C(3,2) = 3 pares. Como cada um desses 3 apertos foi contado duas vezes, precisamos subtrair 3 do total: 18 − 3 = 15.

Outra forma de enxergar: cada pessoa desconhecida aperta a mão de 6 pessoas, mas os apertos entre as desconhecidas são compartilhados. O total de apertos é a soma dos apertos de cada desconhecida dividida por 2 (já que cada aperto envolve duas pessoas): (3 × 6) / 2 = 9. Mas isso conta apenas os apertos envolvendo as desconhecidas. Os apertos entre as 4 pessoas conhecidas não existem, pois elas se abraçam. Então o total de apertos é 9? Não, cuidado: cada desconhecida aperta a mão das 4 conhecidas (4 apertos) e das outras 2 desconhecidas (2 apertos). Os apertos entre desconhecidas são 3 pares, e os apertos entre desconhecida e conhecida são 3 × 4 = 12. Total: 12 + 3 = 15.

A pegadinha clássica é contar apenas os apertos entre as 3 desconhecidas (3) ou apenas os apertos entre desconhecidas e conhecidas (12), esquecendo de somar os dois. Outra pegadinha é calcular C(7,2) = 21 (todos os cumprimentos possíveis) e subtrair os abraços entre as 4 conhecidas (C(4,2) = 6), chegando a 15 — esse raciocínio também funciona, mas é mais direto pensar por partes.

Vamos detalhar cada alternativa:

Alternativa A — ❌ Incorreta

O valor 3 corresponde apenas aos apertos entre as próprias 3 pessoas desconhecidas (C(3,2) = 3). Esquece os apertos entre elas e as 4 conhecidas, que são 12. O total correto é 15.

Alternativa B — ❌ Incorreta

O valor 7 é o número total de pessoas no encontro, não o número de apertos. É um distrator que confunde a contagem de pessoas com a contagem de cumprimentos.

Alternativa C — ❌ Incorreta

O valor 12 corresponde apenas aos apertos entre as 3 desconhecidas e as 4 conhecidas (3 × 4 = 12). Esquece os 3 apertos entre as próprias desconhecidas. O total é 12 + 3 = 15.

Alternativa D — ❌ Incorreta

O valor 14 não corresponde a nenhuma contagem direta do problema. Pode ser um erro de cálculo, como contar 3 × 4 = 12 e somar 2 (talvez esquecendo um par), ou confundir com o total de cumprimentos menos algo. Não há fundamento lógico para 14.

Alternativa E — ✅ Correta ⟵ GABARITO

O total de apertos é 15. As 3 desconhecidas apertam a mão das 4 conhecidas (3 × 4 = 12) e também se cumprimentam entre si (C(3,2) = 3). Somando: 12 + 3 = 15. Alternativamente, o total de cumprimentos entre todas as 7 pessoas seria C(7,2) = 21, mas os abraços entre as 4 conhecidas (C(4,2) = 6) não são apertos, então 21 − 6 = 15.

Gabarito: letra E