Questão de Matemática — Sistema Monetário — FGV 2024

Problemas com moedas: montando e resolvendo o sistema

Gabarito: letra B. Patrícia tem 14 moedas de R$ 0,25. A resolução parte de montar um sistema linear com três incógnitas (quantidades de moedas de R$ 0,25, R$ 0,50 e R$ 1,00) a partir das duas informações do enunciado: o total de moedas (33) e o valor total (R$ 19,00), além da relação entre as moedas de R$ 1,00 e R$ 0,50. Resolvendo o sistema, chega-se a 14 moedas de R$ 0,25.

O problema é um clássico de sistemas de equações do 1º grau, muito comum em concursos. A estratégia é transformar o texto em equações matemáticas. Vamos definir as variáveis:

• $q$ = quantidade de moedas de R$ 0,25

• $c$ = quantidade de moedas de R$ 0,50

• $u$ = quantidade de moedas de R$ 1,00

O enunciado nos dá três informações que viram três equações:

1. Total de moedas: $q + c + u = 33$

2. Valor total: $0,25q + 0,50c + 1,00u = 19,00$ (podemos multiplicar tudo por 4 para evitar decimais: $q + 2c + 4u = 76$)

3. Relação entre moedas de R$ 1,00 e R$ 0,50: $u = c + 5$ (ela tem 5 moedas de R$ 1,00 a mais do que de R$ 0,50)

Agora, substituímos a terceira equação nas duas primeiras para ficarmos com um sistema de duas equações e duas incógnitas ($q$ e $c$).

Substituindo na equação do total de moedas:

$q + c + (c + 5) = 33 \Rightarrow q + 2c = 28$

Substituindo na equação do valor total:

$q + 2c + 4(c + 5) = 76 \Rightarrow q + 2c + 4c + 20 = 76 \Rightarrow q + 6c = 56$

Agora temos o sistema:

Subtraindo a primeira da segunda:

$(q + 6c) - (q + 2c) = 56 - 28 \Rightarrow 4c = 28 \Rightarrow c = 7$

Substituindo $c = 7$ na primeira equação:

$q + 2 \cdot 7 = 28 \Rightarrow q + 14 = 28 \Rightarrow q = 14$

Portanto, Patrícia tem 14 moedas de R$ 0,25. Confirmando: $u = c + 5 = 12$, total de moedas $14 + 7 + 12 = 33$, valor total $14 \times 0,25 + 7 \times 0,50 + 12 \times 1,00 = 3,50 + 3,50 + 12,00 = 19,00$. Tudo confere.

Alternativa A — ❌ Incorreta

16 moedas de R$ 0,25 não satisfaz o sistema. Se $q = 16$, então da equação $q + 2c = 28$ teríamos $16 + 2c = 28 \Rightarrow c = 6$, e $u = c + 5 = 11$. O total de moedas seria $16 + 6 + 11 = 33$, mas o valor total seria $16 \times 0,25 + 6 \times 0,50 + 11 \times 1,00 = 4,00 + 3,00 + 11,00 = 18,00$, que não é R$ 19,00. Portanto, não atende à condição do valor.

Alternativa B — ✅ Correta ⟵ GABARITO

14 moedas de R$ 0,25 é a resposta correta, como demonstrado na resolução do sistema. Com $q = 14$, temos $c = 7$ e $u = 12$, totalizando 33 moedas e R$ 19,00. A alternativa espelha exatamente o resultado obtido.

Alternativa C — ❌ Incorreta

12 moedas de R$ 0,25 não fecha o sistema. Se $q = 12$, então $12 + 2c = 28 \Rightarrow c = 8$, e $u = 13$. O total de moedas seria $12 + 8 + 13 = 33$, mas o valor total seria $12 \times 0,25 + 8 \times 0,50 + 13 \times 1,00 = 3,00 + 4,00 + 13,00 = 20,00$, que excede R$ 19,00. Portanto, está incorreta.

Alternativa D — ❌ Incorreta

10 moedas de R$ 0,25 também não satisfaz. Se $q = 10$, então $10 + 2c = 28 \Rightarrow c = 9$, e $u = 14$. O total de moedas seria $10 + 9 + 14 = 33$, mas o valor total seria $10 \times 0,25 + 9 \times 0,50 + 14 \times 1,00 = 2,50 + 4,50 + 14,00 = 21,00$, que é maior que R$ 19,00. Incorreta.

Alternativa E — ❌ Incorreta

8 moedas de R$ 0,25 não fecha. Se $q = 8$, então $8 + 2c = 28 \Rightarrow c = 10$, e $u = 15$. O total de moedas seria $8 + 10 + 15 = 33$, mas o valor total seria $8 \times 0,25 + 10 \times 0,50 + 15 \times 1,00 = 2,00 + 5,00 + 15,00 = 22,00$, que ultrapassa R$ 19,00. Incorreta.

Gabarito: letra B — 14 moedas de R$ 0,25.