Questão de Matemática — Frações e Dízimas Periódicas — FGV 2024

Frações e proporções: área plantada com soja

Gabarito: letra E. A fração da área total plantada com soja é $\dfrac{27}{50}$, pois, tomando a área da fazenda A como referência, a área de soja total é $\dfrac{3}{4}A + \dfrac{2}{5} \cdot \dfrac{3}{2}A = \dfrac{27}{20}A$ e a área total é $A + \dfrac{3}{2}A = \dfrac{5}{2}A$, resultando em $\dfrac{27/20}{5/2} = \dfrac{27}{50}$. O problema combina frações de grandezas diferentes (áreas de fazendas distintas) com uma relação entre elas, exigindo que se trabalhe com uma base comum.

O ponto central desta questão é a proporcionalidade entre as áreas das fazendas. Não podemos simplesmente somar as frações $\dfrac{3}{4}$ e $\dfrac{2}{5}$, porque elas se referem a áreas diferentes: a primeira é uma fração da área de A, e a segunda, da área de B. Para somar as áreas plantadas com soja, precisamos expressar ambas em termos de uma mesma unidade de medida — por exemplo, a área da fazenda A.

Vamos chamar a área da fazenda A de $A$. O enunciado diz que a área da fazenda B é uma vez e meia a área de A, ou seja, $B = 1,5A = \dfrac{3}{2}A$. Agora podemos calcular:

• Área plantada com soja em A: $\dfrac{3}{4}$ de $A$ = $\dfrac{3}{4}A$.

• Área plantada com soja em B: $\dfrac{2}{5}$ de $B$ = $\dfrac{2}{5} \cdot \dfrac{3}{2}A = \dfrac{6}{10}A = \dfrac{3}{5}A$.

A área total plantada com soja é a soma das duas:

A área total das duas fazendas é:

A fração pedida é a razão entre a área de soja e a área total:

A pegadinha clássica deste tipo de questão é tentar somar as frações diretamente ($\dfrac{3}{4} + \dfrac{2}{5} = \dfrac{23}{20}$) ou fazer uma média simples, ignorando que as fazendas têm tamanhos diferentes. A chave é sempre reduzir tudo a uma base comum antes de operar. Guarde esse critério: ele é exatamente o que separa as alternativas corretas das incorretas.

Alternativa A — ❌ Incorreta

O valor $\dfrac{8}{15}$ não corresponde a nenhuma operação coerente com os dados. Ele poderia surgir de um erro como calcular $\dfrac{3}{4} \times \dfrac{2}{5} = \dfrac{6}{20} = \dfrac{3}{10}$ e depois tentar alguma combinação, ou de uma interpretação equivocada da relação entre as áreas. O correto, como demonstrado, é $\dfrac{27}{50}$.

Alternativa B — ❌ Incorreta

O valor $\dfrac{13}{20}$ é um distrator comum. Ele pode ser obtido se o aluno somar as frações diretamente ($\dfrac{3}{4} + \dfrac{2}{5} = \dfrac{15+8}{20} = \dfrac{23}{20}$) e depois, por engano, considerar a metade disso, ou se fizer uma média aritmética simples das frações: $\dfrac{3/4 + 2/5}{2} = \dfrac{23/20}{2} = \dfrac{23}{40}$, que não é $\dfrac{13}{20}$, mas mostra o tipo de raciocínio equivocado que leva a distratores. A falha está em não considerar que as áreas de A e B são diferentes.

Alternativa C — ❌ Incorreta

O valor $\dfrac{14}{25}$ não tem relação direta com os cálculos corretos. Poderia surgir de um erro ao converter a relação entre as áreas, como usar $B = \dfrac{5}{4}A$ em vez de $\dfrac{3}{2}A$, ou de uma soma incorreta das frações após a conversão. Nenhuma manipulação correta dos dados leva a esse resultado.

Alternativa D — ❌ Incorreta

O valor $\dfrac{33}{40}$ é um distrator que pode resultar de um erro ao somar as frações com denominadores diferentes sem converter corretamente. Por exemplo, se o aluno calcular a área de soja como $\dfrac{3}{4}A + \dfrac{2}{5} \cdot \dfrac{3}{2}A$ e errar na multiplicação, obtendo $\dfrac{3}{4}A + \dfrac{3}{5}A = \dfrac{15+12}{20}A = \dfrac{27}{20}A$ (que está correto), mas depois errar na divisão pela área total, ou se considerar a área total como $A + \dfrac{3}{2}A = \dfrac{5}{2}A$ e errar na fração resultante. O valor $\dfrac{33}{40}$ não corresponde a nenhum passo correto.

Alternativa E — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Esta é a resposta correta. Como calculado, a área plantada com soja é $\dfrac{27}{20}A$ e a área total é $\dfrac{5}{2}A$. A razão entre elas é:

A alternativa espelha exatamente o resultado da proporção entre a área de soja e a área total, considerando a relação entre as áreas das fazendas.

Gabarito: letra E