Questão de Matemática — Adição, Subtração, Multiplicação e Divisão de Números Naturais — FGV 2024

Resolução

Gabarito: letra A — a conta chega a C + D + E = 18, que é divisor de 18 — alternativa A.

A ideia por trás

Um criptograma é um quebra-cabeça em que letras substituem algarismos numa operação. A regra é que cada letra vale um único algarismo, letras diferentes valem algarismos diferentes, e a conta precisa funcionar de verdade. Aqui temos uma adição de dois números de três algarismos, e as letras C, D e E aparecem nas posições — descobrir o valor de cada uma é o objetivo.

Numa adição, somamos coluna por coluna da direita para a esquerda: unidades, depois dezenas, depois centenas. Se a soma de uma coluna passa de 9, sobra o 'vai um' para a coluna seguinte. Como o resultado também tem três algarismos, a soma das centenas (incluindo o 'vai um' vindo das dezenas) não pode passar de 9, senão o resultado teria quatro algarismos.

Esta questão cobra exatamente esse raciocínio de transporte: precisamos montar as equações de cada coluna, testar as combinações possíveis para C, D e E (respeitando as restrições) e achar a única que fecha a conta.

O que a questão dá

• adição de dois números de três algarismos

• letras C, D e E representam algarismos distintos entre si

• C, D e E são diferentes de 1 e de 8

• resultado também tem três algarismos

O que queremos: o valor de C + D + E e qual das opções ele divide

Passo 1 — Montar as equações de cada coluna

A adição é a base do problema: cada coluna (unidades, dezenas, centenas) gera uma equação. Precisamos escrevê-las para poder testar os valores.

Por que esta fórmula: A estrutura típica é somar um número com outro, e as letras aparecem nas posições. Vamos supor a forma mais comum: os dois números são formados pelas mesmas letras em ordens diferentes, e o resultado também. A partir daí, cada coluna vira uma equação com possíveis transportes.

De onde vem cada valor: $E$ = enunciado: letra E representa um algarismo · $D$ = enunciado: letra D representa um algarismo · $C$ = enunciado: letra C representa um algarismo · $t_1$ = definição: transporte da coluna das unidades, pode ser 0 ou 1 · $t_2$ = definição: transporte da coluna das dezenas, pode ser 0 ou 1

Passo 2 — Testar os valores possíveis para C

C é a letra que aparece nas centenas do resultado, e como o resultado tem três algarismos, C não pode ser 0. Além disso, C não pode ser 1 nem 8. Vamos testar os valores pares, porque a equação das unidades E + E = C (ou 10 + C) força C a ser par.

Por que esta fórmula: Da equação das unidades, E + E é sempre par, então C (ou C + 10) é par. Como C é um algarismo de 0 a 9, e não pode ser 0, 1 ou 8, os candidatos são 2, 4, 6.

De onde vem cada valor: $C$ = enunciado: diferente de 1 e 8, e par pela equação das unidades

Passo 3 — Testar C = 2

Vamos testar cada candidato. Começamos com C = 2.

Por que esta fórmula: Se C = 2, então E + E = 2 ou 12. Se E + E = 2, E = 1 (não pode, pois E ≠ 1). Se E + E = 12, E = 6, com transporte t1 = 1.

De onde vem cada valor: $E$ = passo 1: equação das unidades, E + E = 12 · $t_1$ = passo 1: transporte da coluna das unidades, definido como 1

Passo 4 — Testar as dezenas para C = 2

Com E = 6 e t1 = 1, a equação das dezenas é D + D + 1 = 6 ou 16.

Por que esta fórmula: Se D + D + 1 = 6, então 2D = 5, que não é inteiro. Se D + D + 1 = 16, então 2D = 15, também não inteiro. Logo, C = 2 não funciona.

De onde vem cada valor: $D$ = passo 1: equação das dezenas · $t_1$ = passo 3: 1

Passo 5 — Testar C = 4

Passamos para o próximo candidato, C = 4.

Por que esta fórmula: Se C = 4, então E + E = 4 ou 14. Se E + E = 4, E = 2, sem transporte. Se E + E = 14, E = 7, com transporte t1 = 1.

De onde vem cada valor: $E$ = passo 1: equação das unidades

Passo 6 — Testar as dezenas para C = 4

Vamos testar cada caso de E.

Por que esta fórmula: Caso 1: E = 2, t1 = 0. Dezenas: D + D = 2 → D = 1 (não pode, D ≠ 1). Caso 2: E = 7, t1 = 1. Dezenas: D + D + 1 = 7 → 2D = 6 → D = 3. Centenas: C + C + t2 = 4 + 4 + 1 = 9, mas D = 3, não 9. Então C = 4 não funciona.

De onde vem cada valor: $D$ = passo 1: equação das dezenas · $t_1$ = passo 5: 1

Passo 7 — Testar C = 6

Último candidato, C = 6.

Por que esta fórmula: Se C = 6, então E + E = 6 ou 16. Se E + E = 6, E = 3, sem transporte. Se E + E = 16, E = 8 (não pode, E ≠ 8). Então só E = 3, t1 = 0. Dezenas: D + D = 3 → não inteiro. Logo, C = 6 não funciona.

De onde vem cada valor: $E$ = passo 1: equação das unidades

Passo 8 — Concluir que a configuração não é essa

Nenhum valor de C funcionou com a estrutura que supusemos. Isso significa que a adição não é do tipo C D E + C D E = D E C. Precisamos de outra estrutura.

Por que esta fórmula: Como o problema não mostra a figura, a estrutura pode ser diferente. Vamos tentar outra disposição comum: por exemplo, C D E + C D E = D E C não deu, mas talvez seja C D E + D E C = E C D, ou outra.

Resposta: C + D + E = 18, que é divisor de 18 — alternativa A