Matemática · FGV · 2024 | Questão sqc-fg164308

Resolução

Gabarito: letra D — a conta chega a 9 alunos — alternativa D.

A ideia por trás

Em problemas de conjuntos, cada grupo de pessoas é um conjunto, e as operações entre eles descrevem quem pertence a um, ao outro, ou a ambos. A intersecção é o grupo que pertence aos dois conjuntos ao mesmo tempo; a diferença é o grupo que pertence a um mas não ao outro; e o complementar é o grupo que não pertence a um determinado conjunto, dentro do universo total.

A relação fundamental é que o total de elementos do universo é a soma dos que pertencem a um conjunto e dos que não pertencem a ele. Assim, se conhecemos o total e o complementar, encontramos o tamanho do conjunto. Dentro do conjunto, a soma dos que estão na diferença (A − B) com os que estão na intersecção (A ∩ B) dá o total do conjunto A. Essa decomposição é a chave para resolver sem precisar de todos os dados.

Esta questão fornece diretamente a diferença (Matemática − História) e o complementar de Matemática. Com o total, obtemos o tamanho do conjunto Matemática e, subtraindo a diferença, chegamos à intersecção pedida.

O que a questão dá

total de alunos = 40
alunos que gostam de Matemática mas não de História = 12
alunos que não gostam de Matemática = 19

O que queremos: a quantidade de alunos que gostam simultaneamente de Matemática e de História

Passo 1 — Descobrir quantos gostam de Matemática

Precisamos saber o tamanho do conjunto dos que gostam de Matemática para depois separar quem também gosta de História. O enunciado nos dá o complementar: 19 não gostam de Matemática. Como o total é 40, a diferença é o que gostam.

Por que esta fórmula: O total de alunos é a soma dos que gostam de Matemática com os que não gostam. Portanto, subtraímos o complementar do total.

n(M) = 40 - 19

De onde vem cada valor: $40$ = enunciado: total de alunos · $19$ = enunciado: não gostam de Matemática

n(M) = 40 - 19 = \boxed{21\ \text{alunos}}

NÃO CAIA NESSA!

Usar 19 como se fosse o total de quem gosta de Matemática — 19 é quem NÃO gosta.

Passo 2 — Subtrair quem só gosta de Matemática

Dos 21 que gostam de Matemática, alguns também gostam de História (a intersecção) e outros não (a diferença). O enunciado já nos deu a diferença: 12 gostam de Matemática mas não de História. Subtraindo essa diferença do total de M, sobra exatamente a intersecção.

Por que esta fórmula: O conjunto M se divide em duas partes disjuntas: M − H (só Matemática) e M ∩ H (as duas). Logo, a intersecção é o total de M menos a diferença.

n(M \cap H) = n(M) - n(M - H)

De onde vem cada valor: $n(M)$ = passo 1: 21 · $n(M - H)$ = enunciado: 12

n(M \cap H) = 21 - 12 = \boxed{9\ \text{alunos}}

NÃO CAIA NESSA!

Fazer 19 − 12 = 7, confundindo o complementar com o total de M.

Resposta: 9 alunos — alternativa D