Matemática · FGV · 2024 | Questão sqc-fg164309

Racionalização de Denominadores

Gabarito: letra A. A expressão $\dfrac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$ é igual a $\sqrt{3}-\sqrt{2}$ , pois, ao multiplicar numerador e denominador pelo conjugado do denominador ( $\sqrt{3}-\sqrt{2}$ ), o denominador vira uma diferença de quadrados: $(\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2 = 3 - 2 = 1$ . Essa é a técnica clássica de racionalização de denominadores, usada para eliminar radicais do denominador de uma fração.

O que é racionalizar?

Racionalizar uma fração significa transformá-la em uma fração equivalente cujo denominador não contenha radicais. Isso é útil porque simplifica cálculos e comparações. A técnica mais comum é multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador. O conjugado de $a + b$ é $a - b$ , e vice-versa. Quando multiplicamos um binômio pelo seu conjugado, o resultado é a diferença de quadrados: $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ .

Aplicando ao problema

Temos a fração $\dfrac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$ . O conjugado do denominador é $\sqrt{3}-\sqrt{2}$ . Multiplicamos numerador e denominador por esse conjugado:

\dfrac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}} \times \dfrac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{(\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2}

Calculando o denominador:

(\sqrt{3})^2 = 3 \quad \text{e} \quad (\sqrt{2})^2 = 2

Portanto, o denominador fica $3 - 2 = 1$ . A fração inteira fica:

\dfrac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{1} = \sqrt{3}-\sqrt{2}

Por que isso funciona?

A chave é o produto notável $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ . Quando $a$ e $b$ são raízes quadradas, seus quadrados são números inteiros, eliminando os radicais. Esse é o mesmo princípio usado para racionalizar expressões como $\dfrac{1}{\sqrt{5}+2}$ , onde o conjugado seria $\sqrt{5}-2$ .

Pegadinha da banca

A banca explora a confusão entre somar e subtrair os radicais. O candidato que não domina a técnica pode achar que a resposta é $\sqrt{3}+\sqrt{2}$ (alternativa B), mas isso seria o resultado de multiplicar por $\sqrt{3}+\sqrt{2}$ no denominador, o que não elimina o radical. A alternativa C também é um distrator comum: ela sugere dividir por 5, que é o resultado do denominador, mas sem a subtração correta.

1Identificar o conjugado
2Multiplicar num. e denom.
3Aplicar diferença de quadrados
4Simplificar a fração

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Critério	$\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$ (correto)	$\sqrt{3}+\sqrt{2}$ (alternativa B)	$\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{5}$ (alternativa C)	$\frac{1}{\sqrt{5}}$ (alternativa D)	$\frac{1}{\sqrt{6}}$ (alternativa E)
Origem do valor	Racionalização pelo conjugado $\sqrt{3}-\sqrt{2}$	Denominador original da fração	Confusão com (3+2=5) no denominador	Soma incorreta dos radicandos ((3+2=5))	Produto incorreto dos radicandos ((3\times2=6))
Denominador após simplificação	(1) (radical eliminado)	(1) (mas é o denominador, não o resultado)	(5) (mantém radical no numerador)	$\sqrt{5}$ (radical permanece)	$\sqrt{6}$ (radical permanece)
Equivale à expressão original?	Sim, exatamente	Não	Não	Não	Não

Alternativa A — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Esta é a resposta correta. Como demonstrado, $\dfrac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}} = \sqrt{3}-\sqrt{2}$ . A multiplicação pelo conjugado elimina o radical do denominador, resultando em 1, e a fração se reduz à diferença dos radicais.

Alternativa B — ❌ Incorreta

$\sqrt{3}+\sqrt{2}$ é o denominador original da fração, não o resultado. Se multiplicássemos por $\sqrt{3}+\sqrt{2}$ no denominador, teríamos $(\sqrt{3}+\sqrt{2})^2 = 3 + 2\sqrt{6} + 2 = 5 + 2\sqrt{6}$ , que ainda contém radical. A banca coloca essa opção para testar se o aluno confunde o denominador com o resultado.

Alternativa C — ❌ Incorreta

$\dfrac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{5}$ é um distrator. O número 5 aparece como resultado do denominador se você calcular $(\sqrt{3})^2 + (\sqrt{2})^2 = 3 + 2 = 5$ , mas isso seria o caso se o denominador fosse $\sqrt{3} - \sqrt{2}$ multiplicado por $\sqrt{3} + \sqrt{2}$ , o que não é o que temos. A fração correta tem denominador 1, não 5.

Alternativa D — ❌ Incorreta

$\dfrac{1}{\sqrt{5}}$ é um distrator que surge se o aluno somar os radicandos: $3 + 2 = 5$ . Mas isso é incorreto, pois $\sqrt{3} + \sqrt{2} \neq \sqrt{5}$ . A soma de raízes não é a raiz da soma. Essa é uma pegadinha clássica de radiciação.

Alternativa E — ❌ Incorreta

$\dfrac{1}{\sqrt{6}}$ é outro distrator, agora multiplicando os radicandos: $3 \times 2 = 6$ . Mas $\sqrt{3} \times \sqrt{2} = \sqrt{6}$ , não $\sqrt{3} + \sqrt{2}$ . A operação no denominador é uma soma, não um produto, então essa alternativa não se aplica.

Gabarito: letra A