Questão de Matemática — Equações de Primeiro Grau — FGV 2024
Matemática›Equações de Primeiro Grau
Código
fg164311
Banca
FGV
Órgão
ALESC
Ano
2024
Cargo
Ana Leg III ( )
Ana e Bia são irmãs. Em um dia em que Ana fazia aniversário ela disse para a irmã: eu sou 6 anos mais velha que você e a idade de nosso pai é 4 vezes a sua. Decorridos 11 anos, no dia de aniversário de Ana ela disse: que curioso, a soma das idades, minha, sua e de nosso pai é 99 anos. Nesse dia, Ana fez:
A16 anos.
B22 anos.
C24 anos.
D27 anos.
E29 anos.
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GabaritoD — 27 anos.
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Resolução
Gabarito: letra D — a conta chega a 27 anos — alternativa D.
A ideia por trás
Problemas de idade são equações do primeiro grau disfarçadas de conversa. A ideia é transformar cada frase do enunciado em uma expressão algébrica: 'Ana é 6 anos mais velha que Bia' vira a = b + 6, e 'o pai tem 4 vezes a idade de Bia' vira p = 4b. A incógnita é a idade de uma das pessoas em um certo momento, e as outras idades são escritas em função dela.
A relação central é que, quando o tempo passa, TODOS envelhecem igualmente: se passam 11 anos, cada idade aumenta 11. Então, se no início temos a, b e p, depois de 11 anos teremos a+11, b+11 e p+11. A soma dessas idades futuras é dada no enunciado, e isso monta uma equação do primeiro grau que se resolve isolando a incógnita.
Esta questão pede para montar as relações iniciais, aplicar o acréscimo de 11 anos a cada pessoa e igualar a soma a 99. O passo final é lembrar que a pergunta é a idade de Ana no SEGUNDO momento, não no primeiro.
O que a questão dá
Ana é 6 anos mais velha que Bia
idade do pai = 4 × idade de Bia
após 11 anos, soma das idades = 99 anos
O que queremos: a idade de Ana no dia em que a soma das idades é 99
Passo 1 — Escolher a incógnita e montar as relações
Para resolver, precisamos de uma única letra para representar uma idade e escrever as outras em função dela. Como as frases do enunciado falam de Bia, é mais direto chamar a idade de Bia de b.
Por que esta fórmula: A frase 'Ana é 6 anos mais velha que Bia' significa que a idade de Ana é a de Bia mais 6: a = b + 6. A frase 'o pai tem 4 vezes a idade de Bia' significa p = 4b.
De onde vem cada valor: = definição: incógnita, idade de Bia no momento inicial · = enunciado: Ana é 6 anos mais velha · = enunciado: pai tem 4 vezes a idade de Bia
NÃO CAIA NESSA!
Trocar a ordem: escrever b = a + 6 em vez de a = b + 6 — isso inverte a relação e dá idades negativas.
Passo 2 — Somar 11 anos a cada idade
O enunciado fala de um momento 11 anos depois. Como todos envelhecem juntos, cada idade ganha 11. Esse é o passo que muitos esquecem: somar 11 a TODAS as pessoas, não só a uma.
Por que esta fórmula: Se no início as idades são a, b e p, depois de 11 anos são a+11, b+11 e p+11. A soma dessas três é que o enunciado diz ser 99.
De onde vem cada valor: = passo 1: a = b + 6 · = passo 1: incógnita · = passo 1: p = 4b · = enunciado: decorridos 11 anos · = enunciado: soma das idades = 99
NÃO CAIA NESSA!
Esquecer de somar 11 à idade do pai, ou somar 11 apenas a uma das idades — isso muda o resultado final.
Passo 3 — Substituir as expressões na soma
A equação do passo 2 tem três letras, mas queremos uma só. Como a e p já estão escritos em função de b, substituímos para ficar apenas com b.
Por que esta fórmula: Substituir a por b+6 e p por 4b na equação (a+11)+(b+11)+(p+11)=99 transforma tudo em uma equação do primeiro grau em b.
De onde vem cada valor: = passo 1: a = b + 6 · = passo 1: incógnita · = passo 1: p = 4b · = passo 2: acréscimo de 11 anos · = enunciado: soma das idades = 99
NÃO CAIA NESSA!
Errar a soma dos termos constantes: 6+11+11+11 = 39, não 33.
Passo 4 — Simplificar a equação
Com a equação montada, o próximo passo é juntar os termos semelhantes para deixá-la na forma mais simples, pronta para isolar b.
Por que esta fórmula: Somamos os coeficientes de b: 1b + 1b + 4b = 6b. Somamos as constantes: 6+11+11+11 = 39. A equação fica 6b + 39 = 99.
De onde vem cada valor: = passo 3: soma dos termos com b: 1+1+4 · = passo 3: soma das constantes: 6+11+11+11 · = enunciado: soma das idades = 99
NÃO CAIA NESSA!
Esquecer de somar o 6 da diferença de idades, resultando em 6b+33=99.
Passo 5 — Isolar b para achar a idade de Bia
A equação 6b+39=99 está pronta para ser resolvida. Isolar b nos dá a idade de Bia no momento inicial, que é a chave para todas as outras idades.
Por que esta fórmula: Para isolar b, subtraímos 39 dos dois lados e depois dividimos por 6. Isso é a operação inversa da equação.
De onde vem cada valor: = passo 4: lado direito da equação · = passo 4: constante · = passo 4: coeficiente de b
NÃO CAIA NESSA!
Dividir 99 por 6 diretamente, esquecendo de subtrair 39 primeiro.
Passo 6 — Calcular a idade de Ana no início
A pergunta é sobre Ana, não sobre Bia. Com a idade de Bia em mãos, usamos a relação do passo 1 para achar a idade de Ana no momento inicial.
Por que esta fórmula: Como a = b + 6, substituímos b por 10.
De onde vem cada valor: = passo 5: idade de Bia · = enunciado: Ana é 6 anos mais velha
NÃO CAIA NESSA!
Parar aqui e marcar a alternativa A — mas a pergunta é a idade APÓS 11 anos.
Passo 7 — Somar 11 anos à idade de Ana
O enunciado pede a idade de Ana no dia em que a soma é 99, que é 11 anos depois do momento inicial. Por isso, precisamos somar 11 à idade que acabamos de achar.
Por que esta fórmula: Depois de 11 anos, a idade de Ana é a inicial mais 11.
De onde vem cada valor: = passo 6: idade de Ana no início · = enunciado: decorridos 11 anos