Questão de Matemática — Polígonos Inscritos e Circunscritos à Circunferência — FGV 2024

Área da região sombreada: quadrado circunscrito e triângulo equilátero inscrito

Gabarito: letra E — a área sombreada é a área do quadrado circunscrito (lado $2r$) menos a área do círculo, mais a área do triângulo equilátero inscrito, resultando em $r^2\left(\frac{16+3\sqrt{3}-4\pi}{4}\right)$. A chave é reconhecer que a região sombreada é composta por duas partes: os quatro cantos do quadrado fora do círculo e o triângulo equilátero dentro do círculo.

Vamos decompor a figura. Temos um quadrado circunscrito à circunferência de raio $r$. Isso significa que o lado do quadrado é igual ao diâmetro da circunferência, ou seja, $L = 2r$. A área do quadrado é, portanto, $A_{quadrado} = (2r)^2 = 4r^2$.

Dentro da circunferência, está inscrito um triângulo equilátero. Para um triângulo equilátero inscrito numa circunferência de raio $r$, o raio da circunferência circunscrita ($R$) relaciona-se com o lado ($l$) do triângulo pela fórmula $R = \frac{l\sqrt{3}}{3}$. Isolando o lado, temos $l = R\sqrt{3} = r\sqrt{3}$. A área de um triângulo equilátero de lado $l$ é dada por $A = \frac{l^2\sqrt{3}}{4}$. Substituindo $l = r\sqrt{3}$, obtemos:

A área do círculo é $A_{círculo} = \pi r^2$.

A região sombreada, conforme a figura, é formada pela área do quadrado que está fora do círculo (os quatro cantos) mais a área do triângulo equilátero que está dentro do círculo. A área dos quatro cantos é a diferença entre a área do quadrado e a área do círculo: $A_{cantos} = A_{quadrado} - A_{círculo} = 4r^2 - \pi r^2$.

Portanto, a área sombreada total é:

Colocando $r^2$ em evidência e ajustando os termos para um denominador comum (4):

Que corresponde exatamente à alternativa E.

A pegadinha desta questão está em identificar corretamente o que compõe a região sombreada. Muitos alunos subtraem apenas a área do triângulo da área do quadrado, ou esquecem de somar a área do triângulo que está dentro do círculo. A figura é essencial para essa percepção.

Alternativa A — ❌ Incorreta

Esta alternativa calcula apenas a área dos quatro cantos do quadrado fora do círculo ($4r^2 - \pi r^2$), mas ignora completamente a área do triângulo equilátero que também faz parte da região sombreada. O termo $3\sqrt{3}$ está ausente, o que a torna incompleta.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Esta alternativa soma a área dos cantos com a área do triângulo, mas o faz de forma incorreta. O termo $3\sqrt{3}$ aparece fora do denominador, como se fosse $r^2(4-\pi+3\sqrt{3})$, o que equivale a $r^2(4-\pi) + 3\sqrt{3}r^2$. Isso representaria uma área do triângulo de $3\sqrt{3}r^2$, que é quatro vezes maior que a área real do triângulo ($\frac{3\sqrt{3}}{4}r^2$). O erro está em não dividir o termo do triângulo por 4.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Esta alternativa apresenta o numerador $19-4\pi$. O número 19 não tem relação direta com os componentes da figura. Se derivarmos, $19 = 16 + 3$, o que sugere que o candidato pode ter somado 16 (do quadrado) com 3 (do triângulo) sem considerar o $\sqrt{3}$ corretamente, ou simplesmente errou na manipulação algébrica. O termo $3\sqrt{3}$ está faltando.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Esta alternativa tem o numerador $4+3\sqrt{3}-4\pi$. O número 4 no início sugere que o candidato usou a área do quadrado como $4r^2$, mas esqueceu de multiplicar por 4 ao colocar tudo sobre o denominador comum. O correto seria $\frac{16}{4}$, não $\frac{4}{4}$. É um erro de aritmética na hora de somar as frações.

Alternativa E — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Como demonstrado no desenvolvimento, a área sombreada é a soma da área dos quatro cantos ($4r^2 - \pi r^2$) com a área do triângulo equilátero inscrito ($\frac{3r^2\sqrt{3}}{4}$). Colocando $r^2$ em evidência e unificando os denominadores, chegamos exatamente a $r^2\left(\frac{16+3\sqrt{3}-4\pi}{4}\right)$.

Gabarito: letra E