GabaritoD — 5.
Gabarito: letra D — a conta chega a 5 — alternativa D.
O algarismo das unidades de um número é o último dígito, o que fica na casa das unidades. Quando multiplicamos números, o algarismo das unidades do produto depende apenas dos algarismos das unidades dos fatores — as dezenas, centenas etc. não interferem nesse dígito final. Por isso, para saber o último dígito de uma potência enorme, basta olhar para o último dígito da base e para o expoente.
As potências de um número terminado em um certo dígito seguem um ciclo. Por exemplo, as potências de 3 terminam em 3, 9, 7, 1, 3, 9, 7, 1... — um ciclo de comprimento 4. As potências de 4 terminam em 4, 6, 4, 6... — um ciclo de comprimento 2. Para saber qual termo do ciclo corresponde a um expoente grande, dividimos o expoente pelo comprimento do ciclo e olhamos o resto: resto 1 indica o primeiro termo, resto 2 o segundo, e assim por diante; resto 0 indica o último termo do ciclo.
Esta questão cobra exatamente esse ciclo: precisamos achar o último dígito de cada potência separadamente e depois somar os dois resultados.
expressão: 2023^2024 + 2024^2025
O que queremos: o algarismo das unidades do resultado da expressão
O primeiro termo é 2023^2024. Como só o último dígito da base importa, vamos estudar as potências de 3. Elas formam um ciclo que se repete a cada 4 expoentes, e é esse ciclo que vai nos dizer o último dígito.
Por que esta fórmula: Não é uma fórmula, é uma observação: 3^1 = 3, 3^2 = 9, 3^3 = 27 (último dígito 7), 3^4 = 81 (último dígito 1), e depois 3^5 = 243 (último dígito 3) — o ciclo recomeça. Então o ciclo é 3, 9, 7, 1.
Achar que o ciclo é 3, 9, 7, 1, 3... mas esquecer que o comprimento é 4, não 3.
Agora que sabemos o ciclo, precisamos saber em qual posição do ciclo cai o expoente 2024. Dividimos o expoente pelo comprimento do ciclo (4) e olhamos o resto.
Por que esta fórmula: A divisão inteira por 4 nos diz quantas voltas completas o ciclo dá e em qual termo paramos. Resto 0 significa que caímos no último termo do ciclo.
De onde vem cada valor: = enunciado: expoente do primeiro termo · = passo 1: comprimento do ciclo do 3 · = constante: resultado da divisão
resto 0 → último dígito é 1
Confundir resto 0 com o primeiro termo do ciclo; resto 0 é o último termo, que é 1.
O segundo termo é 2024^2025. O último dígito da base é 4, então estudamos as potências de 4. Elas têm um ciclo mais curto.
Por que esta fórmula: Observando: 4^1 = 4, 4^2 = 16 (último dígito 6), 4^3 = 64 (último dígito 4) — o ciclo é 4, 6, com comprimento 2.
Achar que o ciclo é 4, 6, 4, 6... mas esquecer que o comprimento é 2.
Com o ciclo do 4 em mãos, vemos que o expoente 2025 é ímpar. No ciclo 4, 6, os termos ímpares são 4 e os pares são 6.
Por que esta fórmula: Como o ciclo tem comprimento 2, basta ver se o expoente é par ou ímpar: ímpar → primeiro termo (4), par → segundo termo (6).
De onde vem cada valor: = enunciado: expoente do segundo termo
último dígito é 4
Pensar que todo número terminado em 4 tem último dígito 4, esquecendo que 4^2 termina em 6.
O último dígito da soma é a soma dos últimos dígitos das parcelas, desde que não passe de 9. Aqui, 1 + 4 = 5, que é um dígito único.
Por que esta fórmula: A soma de dois números: o último dígito do resultado é a soma dos últimos dígitos das parcelas, considerando o 'vai um' se passar de 9. Como 1 + 4 = 5, não há 'vai um'.
De onde vem cada valor: = passo 2 · = passo 4
Esquecer de somar os dois termos e marcar o dígito do primeiro termo (1) ou do segundo (4).
Resposta: 5 — alternativa D
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