Questão de Matemática — Razões e Funções Trigonométricas. Ciclo Trigonométrico. — FGV 2024

Equações trigonométricas: resolvendo sen(4x+1) = 1/2

Gabarito: letra B. A equação $⁡\text{sen}(4x+1) = \frac{1}{2}$ tem duas famílias de solução, pois o seno assume o valor $\frac{1}{2}$ em dois ângulos do ciclo trigonométrico: $\frac{\pi}{6}$ e $\frac{5\pi}{6}$. Resolvendo $4x+1 = \frac{\pi}{6} + 2k\pi$ e $4x+1 = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi$, isolando $x$, obtemos exatamente as expressões da alternativa B.

O ponto central desta questão é a periodicidade da função seno e a solução geral de equações trigonométricas. Quando resolvemos $\text{sen}(\theta) = a$, com $|a| \le 1$, precisamos lembrar que o seno é uma função periódica de período $2\pi$. Isso significa que, se um ângulo $\theta_0$ é solução, então $\theta_0 + 2k\pi$ também é solução para qualquer inteiro $k$. Além disso, o seno é positivo no primeiro e no segundo quadrantes, então há dois ângulos fundamentais no intervalo $[0, 2\pi)$ que satisfazem a equação: o ângulo $\theta_0$ e o ângulo $\pi - \theta_0$.

No caso específico, $\text{sen}(\theta) = \frac{1}{2}$. O ângulo fundamental é $\theta_0 = \frac{\pi}{6}$ (30°), pois $\text{sen}\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}$. O segundo ângulo é $\pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$ (150°), pois $\text{sen}\left(\frac{5\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}$. Portanto, a solução geral para $\theta$ é:

No problema, temos $\theta = 4x + 1$. Substituindo e isolando $x$:

Primeira família:

Segunda família:

Essas duas expressões são exatamente as que aparecem na alternativa B. A pegadinha da banca está em esquecer o segundo ângulo (o $\frac{5\pi}{6}$) ou em errar a álgebra ao isolar $x$, especialmente ao lidar com o termo constante "+1" dentro do argumento do seno. Muitos candidatos, ao resolverem $4x+1 = \frac{\pi}{6} + 2k\pi$, subtraem 1 e depois dividem por 4, mas se confundem na hora de distribuir a divisão, esquecendo que o $2k\pi$ também deve ser dividido por 4, resultando em $\frac{k\pi}{2}$ e não $\frac{2k\pi}{4}$ (que é a mesma coisa, mas a forma como está escrita na alternativa B é $\frac{2k\pi - 1}{4}$, que é a forma correta de agrupar).

Vamos agora analisar cada alternativa, identificando o erro específico de cada uma.

Alternativa A — ❌ Incorreta

O erro está nos numeradores das frações com $\pi$: usa $\frac{\pi}{12}$ e $\frac{2\pi}{12}$ em vez de $\frac{\pi}{24}$ e $\frac{5\pi}{24}$. Isso indica que o candidato esqueceu de dividir o ângulo por 4 ao isolar $x$. Se $4x+1 = \frac{\pi}{6}$, então $x = \frac{\pi}{24} - \frac{1}{4}$, e não $\frac{\pi}{12}$. O mesmo vale para o segundo ângulo: $\frac{5\pi}{6} \div 4 = \frac{5\pi}{24}$, não $\frac{2\pi}{12}$ (que é $\frac{\pi}{6}$).

Alternativa B — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Esta alternativa reproduz exatamente a solução geral encontrada: $x = \frac{\pi}{24} + \frac{2k\pi - 1}{4}$ e $x = \frac{5\pi}{24} + \frac{2k\pi - 1}{4}$. A primeira vem de $4x+1 = \frac{\pi}{6} + 2k\pi$ e a segunda de $4x+1 = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi$. A álgebra está correta: subtrai-se 1 de ambos os lados e divide-se tudo por 4, resultando em $\frac{2k\pi - 1}{4}$.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Aqui o erro é duplo: além de usar $\frac{\pi}{12}$ e $\frac{2\pi}{12}$ (mesmo erro da alternativa A), o termo periódico está como $\frac{k\pi}{2}$ em vez de $\frac{2k\pi}{4}$. Embora $\frac{k\pi}{2} = \frac{2k\pi}{4}$, a alternativa omite o termo constante $-1$ que deve ser dividido por 4. A forma correta é $\frac{2k\pi - 1}{4}$, não $\frac{k\pi}{2}$. O candidato que escolhe esta opção provavelmente esqueceu de subtrair 1 antes de dividir por 4.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Esta alternativa acerta os ângulos fundamentais ($\frac{\pi}{24}$ e $\frac{5\pi}{24}$), mas erra o termo periódico: usa $\frac{k\pi}{2}$ em vez de $\frac{2k\pi - 1}{4}$. O erro é o mesmo da alternativa C: omitir o termo constante $-1$ que deve ser dividido por 4. A solução correta exige que o $-1$ seja incluído no numerador junto com $2k\pi$.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Esta alternativa apresenta apenas uma família de soluções, omitindo a segunda ($x = \frac{5\pi}{24} + \frac{2k\pi - 1}{4}$). Além disso, o termo periódico está escrito como $\frac{k\pi - 1}{4}$, que é diferente de $\frac{2k\pi - 1}{4}$. O candidato que escolhe esta opção provavelmente esqueceu que a equação $\text{sen}(\theta) = \frac{1}{2}$ tem duas soluções no intervalo $[0, 2\pi)$ e também errou a álgebra ao isolar $x$.

Gabarito: letra B